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多面体欧拉公式的发现
研究性课题：
制作：钱晓萍
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一些定义：
若干个平面多边形围成的几何体叫多面体 。
围成多面体的各个多边形叫多面体的面 (Face)。
两个面的公共边叫多面体的棱 (Edge)。
若干个面的公共顶点叫多面体的顶点 (Vertex)。
多面体的面数F4，棱数E  6，顶点数V  4。
一个多面体至少有 个面， 条棱， 个顶点．
4
6
4
回顾知识
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问题一：
问题二：
我们知道正多边形有无限多种，前面我们学****过，正
多面体只有5种：正四面体、正六面体、正八面体、
正十二面体、正二十面体。这是为什么呢？
小明想用90根相同火柴棒拼出一个形如足球的多面
体，他连续拼了N次,仍然没有合理地拼出此多面体.
你能帮助他设计出来吗？
多面体的顶点数、面数和棱数之间有什么关系呢？
瑞士数学家欧拉早在1750年就研究过这个问题，并得出自己的结论，下面我们就沿着欧拉的足迹来探索这个关系。
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1、观察下面有5个多面体，分别数出它们的顶点数V、 面数F和棱数E，并填出下表；
图形编号
顶点数V
面数 F
棱数 E
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(1) (2) (3) (4) (5)
4
6
8
12
6
8
9
8
15
9
9
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观察表中填出的各组数据中，V、F和E 之间有什么规律吗？
4
6
12
V
F
E
+
_
+
_
=2
4
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图形编号
顶点数V
面数F
棱数E
(1)
(2)
(3)
5
5
8
12
12
24
7
8
12
观察表中数据，这些图形的V、
F和E 符合前面所找出的规律吗？
出现这些区别的原因是什么？
下面有3个多面体，分别数出它们的
顶点数V、面数F和棱数E。
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比较前面问题1和问题2中的图形，
如果这些多面体的表面都是用橡皮薄膜制作的，并且可以向它们内部充气，那么其中哪些多面体能够连续(不破裂)变形，最后其表面可变为一个球面？
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定义：表面经过连续变形能变为一个球面的多面体
叫做简单多面体．
问题1：我们所熟悉的棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体是简单多面体吗？
问题2：五种正多面体是简单多面体吗？
图形
顶点数V
面数F
棱数E
正十二面体
正二十面体
20
12
30
12
20
30
问题3：五种正多面体都满足V+F-2=E吗？
问题4：简单多面体都满足V+F-2=E吗？
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猜想：简单多面体的顶点数V、面数F、棱数E之间存在
规律：V+F–E=2 。
欧拉（公元1707-1783年） 出生在瑞士的巴塞尔（Basel）城，13岁就进巴塞尔大学读书，他从19岁开始发表论文，直到76岁，共写下了886本书籍和论文，彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了四十七年．他是科学史上最多产的数学家。
这是由欧拉在1750年发现的，故称为欧拉公式。欧拉公式的
背后是一门新的几何学，这种新的几何学只研究图形各部分
位置的相对次序，而不考虑图形尺寸大小，如今这门学科已
经发展成数学的一个重要的分支——拓朴学。
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欧拉著作的惊人多产并不是偶然的，他可以在任何不良的环境中工作，他常常抱着孩子在膝上完成论文，也不顾孩子在旁边喧哗．过度的工作使他得了眼病，不幸右眼失明了，这时他才28岁．不料没有多久，左眼视力衰退，最后完全失明．仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗，凭着记忆和心算进行研究，直到逝世。
欧拉的一生，是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远是值得我们学****的．
以欧拉名字命名的数学公式、定理等在数学书籍中随处可见,
欧拉还创设了许多数学符号，例如π，i，e，sin和cos，tan，
△x，Σ，f(x) 等．他还在物理、天文、建筑以至音乐、哲学
方面取得了辉煌的成就。1735年，欧拉解决了天文学中计算慧
星轨道的问题，这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得
到解决，而欧拉却用自己发明的方法，三天便完成了．
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基础知识形成性