复合函数奇偶性的判断方法.docx

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函数奇偶性判断方法的教学
：函数的定义域必须关于原点对称，这样该函数可能有奇偶性。
： x 属于函数 y=f(x) 的定义域 A, 且 -x 属于 A 的条件下，如果 f(-x)=-f(x) 则 y=f(x) 为奇函数，
如果 f(-x)=f(x) 则 y=f(x) 为偶函数。如果 f(-x)=-f(x)=f(x)=0 则 y=f(x) 为偶函数且奇函数。如果
f(-x)=-f(x)=f(x) 等于不为零的一个常数，则 y=f(x) 为偶函数。
：如果函数图像关于原点对称，则为奇函数，如果函数图像关于 y 轴对
称，则为偶函数。
分段函数奇偶性的判断：要看每段上f(-x) 与 f(x) 的关系，或要取绝对值符号，化简函数式。
： 函数 y=f(t) 且 t=g(x), 如果 f(t) 为奇（偶）函数，则 t=g(x) 为奇（偶）函数。
互为反函数的关系判断：如果一个函数是奇函数，则它的反函数也是起函数，但偶函数就不能这样的关系。
7. 用特殊值判断函数的奇偶性： 比如：f(x) 满足，f(x y) f(x-y)=2f(x).f(y), 且 f(1) 不等于 f(2), 求证：f(x)
为偶函数
例题 ：判定函数 的奇 偶性和单调 性
分析：不难 判定 函 数 的定义 域是 ；又因为
可得 是奇函 数，因此 ，把握 在 上函 数
的单调 性，就能把握 函 数在定义 域 上的单调 性，将 的解析 式变 形为
，设 ，
我们 已经 熟知函 数 在 区间 上单调递 减，在区 间 上单调递 增，且 ，
那么，由 就可以推断函数 在区间 上单调递 增，在区间 上单调递
减，再由 是奇函数就可 判定 在 和 两个区间 上都是减函 数 ；在区间
上是增函数． 这样 ， 利用函数的单调 性 的定义 推证 的单调 性的目标 就 明确了．
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解： ∵ 函数 的定 义 域为 ，
又
故 是奇函数，任取 ， ，且 ．
其中 和 恒为 正数．
当 ， ， ， ，
， 即
当 时， 且 ， ，
由此可得 ， ，
即
当 时 ， ， ， ．
即