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二次根式知识点总结及常见题型.doc

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二次根式知识点总结及常见题型
资料编号:20190802
一、二次根式的定义
形如（≥0）“”叫做二次根号,叫做被开方数.
（1）;
（2）判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断:
①是否含有二次根号“”;
②被开方数是否为非负数.
若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式.
（3）形如（≥0）的式子也是二次根式,其中叫做二次根式的系数,它表示的是: （≥0）;
（4）根据二次根式有意义的条件,若二次根式与都有意义,则有.
二、二次根式的性质
二次根式具有以下性质:
（1）双重非负性:≥0,≥0;（主要用于字母的求值）
（2）回归性:（≥0）;（主要用于二次根式的计算）
（3）转化性:.（主要用于二次根式的化简）
重要结论:
（1）若几个非负数的和为0,则每个非负数分别等于0.
若,则.
应用与书写规范:∵,
≥0,≥0,≥0
∴.
该性质常与配方法结合求字母的值.
（2）;主要用于二次根式的化简.
（3）,其中≥0;
该结论主要用于某些带系数的二次根式的化简:可以考虑把二次根号外面的系数根据符号以平方的形式移到根号内,以达到化简的目的.
（4）,其中≥0.
该结论主要用于二次根式的计算.
例1. 式子在实数范围内有意义,则的取值范围是_________.
分析:本题考查二次根式有意义的条件,即被开方数为非负数,注意分母不能为0.
解:由二次根式有意义的条件可知:,∴.
例2. 若为实数,且,化简:.
分析:本题考查二次根式有意义的条件,且有重要结论:若二次根式与都有意义,则有.
解:∵≥0,≥0
∴≥1,≤1
∴
∴
∴.例3. 若,则的值等于【】
（A）（B）0 （C）1 （D）2
分析:本题考查二次根式的非负性以及结论:若几个非负数的和为0,则每个非负数分别等于0.
解:∵
∴
∵≥0,≥0
∴
∴
∴.选择【 D 】.
例4. 无论取任何实数,代数式都有意义,则的取值范围是__________.
分析:无论取任何实数,代数式都有意义,即被开方数≥0恒成立,所以有如下两种解法:
解法一:由题意可知:≥0
∵≥0
∴≥
∵≥0
∴≤0,∴≥9.
解法二:设
∵无论取任何实数,代数式都有意义
∴≥0恒成立
即抛物线与轴最多有一个交点
∴≤0
解之得:≥9.
例5. 已知是△ABC的三边长,并且满足,试判断△ABC
的形状.
分析:非负数的性质常和配方法结合用于求字母的值.
解:∵
∴
∴
∵≥0,≥0,≥0
∴
∴
∵
∴
∴△ABC为直角三角形.（A）20或16 （B）20
（C）16 （D）以上答案均不对提示:由≥0,且可得:≥0,∴≥5.
例6. 计算:
（1）; （2）; （3）.
分析:本题考查二次根式的性质: （≥0）.该性质主要用于二次根式的计算.
解:（1）;
（2）;
（3）.
注意:,其中≥.
例7. 化简:
（1）; （2）; （3）.
分析:本题考查二次根式的性质:.该性质主要用于二次根式的化简.
解:（1）;
（2）;
（3）
∵
∴原式.
注意: 结论:.该结论主要用于二次根式和绝对值的化简.
例8. 当有意义时,化简:.
解:∵二次根式有意义
∴≥0
∴≥

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二次根式知识点归纳及题型总结

第十六章二次根式知识点与常见题型总结