有关三坐标测量机测量齿轮的精度及误差检验.doc

第四章齿厚偏差算法及Visual Basic编程
齿厚偏差计算过程
在三坐标测量机上采用连续扫面法在齿轮轮廓上进行扫描测量,得到一组数据,即为以齿轮圆心为坐标原点时齿轮齿廓上各点坐标。根据已经测得的坐标值,在坐标系中算出齿轮齿廓与分度圆的交点,由单个齿上两侧的交点计算出对应的弧长,即为实际测量得到的齿厚。再根据齿轮的模数和齿数算出理论齿厚。进而求得单个齿的齿厚偏差。依次求出各个齿的齿厚偏差,并找出最大、最小偏差。根据齿轮精度等级求出齿厚的上、下极限偏差,若最大、最小偏差在极限范围内,则此齿轮侧隙满足条件。
算法
求圆心
假设齿轮齿数为,根据坐标机上测量得到的数据找出每个齿上最接近齿顶处的点,即取个点。根据取得的点求齿顶圆圆心,即齿轮圆心,有如下两种方法:
⑴三点求圆心
将取得的点分成组(结果取整),每组的3点尽可能分布整个圆周,可以使结果更精确。每组的3点求出一个圆心,再根据每组取得的圆心进行平均值计算,从而得到齿轮圆心。
令3点坐标为、、,圆心为,半径为。圆的方程为,因此有方程组:
(4-1)
(4-2)
(4-3)
①—②得
(4-4)
③—①得
(4-5)
④*得
(4-6)
⑤*得
(4-7)
(4-6)—(4-7)得
∴将代入方程(4-4),得
最终得到圆心坐标即为。
⑵最小二乘法
最小二乘法(又称最小平方法)是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据,并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。在根据未知数列出求得的数据与实际数据之间的平方和函数后,应用高数中偏导数求极值的原理,将函数对未知数变量进行求偏导。令偏导数为0后解方程,求出未知变量,即可得到最佳函数[12]。
最小二乘法通常用于曲线拟合,拟合圆曲线的公式推导如下:
圆的方程:
令
可得圆曲线方程的另一个形式:
(4-8)
只要求出参数就可以求得圆心坐标的参数:
取得的个点坐标为,各个点到圆心的距离为:
点到圆边缘的距离的平方与半径平方的差为:
令为的平方和:
求参数使得的值取得最小值。
解:
平方差大于0,因此函数存在大于等于0的极小值,极大值为无穷大。
对求偏导,令偏导数等于0,得到极值点,比较所有极值点的函数值即可得到最小值。
(4-9)
(4-10)
(4-11)
解这个方程组:
先消去
(4-9)*—(4-11)*得:
(4-12)
(4-9)*—(4-11)*得:
(4-13)
令
代入(4-12)、(4-13)可解得:
将代入(4-11)可解得:
从而得到圆心的估计拟合值:
相同的一组数据,在VB中分别应用上述两种方法求圆心,事实证明最小二乘法的精度更高,而且在取点过程中没有条件限制,简单易行,因此在编程中选用最小二乘法求圆心。
求齿轮模数和分度圆半径
求出齿轮圆心后,依次求出取得的齿顶处的点的半径,。则对应计算得到的模数为:
∴
由于不同模数的齿轮要有不同模数的***去制造,为了便于设计和加工,渐开线齿轮应采用如下表1所示的标准模数系列[13]。
(mm)
第一系列
1 2 3 4 5 6 8 10 12 16 20 25 32 40 50
第二系列
() () () 7 9 (11) 14 18 22 28 36 45
因此,得到的值还需要进行标准化:
若,则
若,则
若,则
若,则
由此得到齿轮模数。
计算出模数后即可求出分度圆半径
求齿轮齿廓与分度圆交点
为了计算每个轮齿的齿厚,需要先求出每个轮齿两侧与分度圆相交的交点。根据求得的圆心坐标,依次求出齿轮齿廓上各个点的半径,。为了便于以后的齿厚偏差计算,在找出半径大于分度圆半径的最小点、半径小于分度圆半径的最大点过程中,从取得的第一个齿廓上的点(记为)开始依次循环(~,1~),比较齿廓上点的半径和分度圆半径的关系,得到两组分度圆附近的点数据:(半径值不断增加,此处记为单个轮齿上升侧的点)、(半径值不断减小,此处记为单个轮齿上降侧的点),其中是分度圆半径。根据单个齿两侧的点拟合曲线,与分度圆方程联立,求出交点。
令单个轮齿齿廓同一侧上半径小于分度圆半径的最大点坐标为、半径大于分度圆半径的最小点坐标为。交点可以通过两点所在直线的方程与分度圆所在方程联立求解,也可以用分度圆附近的点拟合求渐开线求解,推导过程分别如下:
⑴根据直线方程求交点:
分度圆方程:
(4-14)
点、所在直线