第一章应力状态分析.docx

第一章应力状态分析.docx第一章 应力状态分析
本章主要内容:
* 一点应力状态
*平衡微分方程
*应力边界条件
§
外力作用方式：
1、 体积力F作用于每个质点
2、 表面力T作用于物体表面（点或面）
一般地，坐标轴标记为邑,工2，工3 （对应于X，、z）。
F和T的对应分量为与，和T”—
应力
在外力作用下，物体内部将产生内力，内力是物体不同部分之间的相互作用力。
取截面“皿 取包含P点的微面积Z\A,假定Z\A上的内力△万 o
<5■称为mn截面上p点处的应力。
沿截面外法线方向为正应力o,切线方向为切向应力t （剪应力T ） 5■与点的位置和截面位向"3）有关
厅=厅(X1，X2, X3, ni, 8, 113)
=<7（Xi,ni）
过一点截面无限多个，如何确定一点的应力状态？
应力分量
绕点F切去一个微小六面体，称单元体。其边长4&1，办2，办：3为无 穷小，可近似认为单元体各面上应力均匀。
C
。11 C
凡面的外法线方向与坐标轴正向一致的而称为正面, 反之为负面。
单元体上三对相互垂直的面上共有九个应力分量， 分别为 °11，° 12' ° 13，° 21' ° 22，° 23，° 31' °32,
§ 张量符号与求和约定
张量符号的主要特点是运用下标记号法
、求和约定：
在一个项表达式中，如果同一个下标出现两次，那么就是对这个下标从1到3求积。
如=。11 +。22 +。33
a 也=“也 + a2b2 + a3b3
aijbi — %也 + a2jb2 + a3jb3 （三个表达式）
da； da. 3% da.
Q = L = L _| £_ _| 2_
1,1 3xz. 3x2 8x3
' 网 3%! 志2 3尤3
” aijbij= %吊+ %品 +褊如
=4吊 + Mi + %力31
+。12力12 +白22”22 + “
+。13”13 +白23”23 + “33”33
Kronecker delta 3;;
）“• =
哑标：%= akk
§
一、平衡微分方程
考察各个面上耳方向应力
（7n （%! + 为：1，尤2，工3）
=。11(知尤2，尤3)+
3。11(尤1，如工3)
志1
=° 11 + ch]
故有： ((Ju + 3。1 曲)火2乂3 1^2X3+(。21 + -^2-dx2)dx3dxx -(yndx3dxx
志 1 3%2
+(’1 + 31 dx3 )dxydx2 -(y3XdxYdx2 + Fidx1dx2dx3 =0
结合工2，尤3方向平衡关系式，有:
张量记号： ^± + f，=o ()
(T +F.=0 ( C)
IJ，l J
若体积力可忽略则： 匹 =0 ( d)
dxi
气3=0 (Lie)
二、剪应力互等定律
以与尤 1轴平行的通过单元体前后两个面中心的轴线为矩轴，建立力矩平衡方程，则:
((723 + —3 dx2)dx1dx3 — dx2 + %赤i办3~赤2
dx2 2 2
—(。32 — dx^(1x^2 一dx^—O'3zdX\dx2 _dx^ = 0
dx3 2 2
3“23 7 11 r\
ct23 H dx2 -(T32 dx3 = 0
dx2 2 8x3
取 dx~2 ~0 dx^ -> 0 贝！J 。23 = "32
同理 (tI2 =(t2I (tI3 =(t3I
(5 =(J y ji
平衡方程也可写成:
3 cr..
瓦 +' =°
§
、任意斜面上的应力
已知p点应力分量，不计体力及微面上应力变化
〃 =("1, 〃2，〃3 )
设该面应力(T, 分量为’，％，。3
考察尤 1方向力的平衡
o\ds =(ynn{ds + c2in2ds +(J3{n3ds
n q = bn"] + cr21n2 + cr31n3
“2 =。12〃1 + “22 〃2 + “32 〃3
。3 =。13勺 +。23二2 + “33 〃3
’ ="=(yjinj
故斜面上应力矢量(T的大小为：
(7 = J of + (7； + (7；
斜面上正应力大小为:
=Qi"； +。22〃； + 2（<T12n1n2+<T23n2n3 +（7^^） = <7〃儿勺
斜面上剪应力Tn大小为：
"加2_犬
二、应力边界条件
若斜面是物体外表面，则（T应是单位面积的面力下，则G，（J2 ,。3应为T1，T2, T3 则
4