一个多解问题的再思考（Re-thinking of a Question about ....doc

一个多解问题的再思考(Re-thinking of a Question about various Questions)
苏劼
江苏省丹阳市高级中学,212309
摘要:本文分析一个正弦函数问题产生多解的原因,利用导数的性质排除了多解,从而得出正确的结果,并且得到更一般性的结论.
关键词:正弦函数;图象;单调函数;导数.
文[1]给出了如下问题:如图1,某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数,求这段曲线的函数解析式.
30
20
10
T
根据图象知
求时文[1]给出如下两种不同的解法:
方法1 把最低点代入解析式
6
14
106
t
O
得①
图1
解得
方法2 把平衡点代入解析式得②
解得或
这样就自然想到以下问题:(1)方法2产生多解的原因,以及代入哪些点的坐标会产生多解,代入哪些点的坐标不会?(2)如果产生多解,怎样排除多解?
30
20
10
T
y=f(x)
y=g(x)
6
14
106
t
O
,由图2可知,
正弦函数与的图象振幅与周期相同,
且都经过点平衡点,所以代入平衡点坐标时会
图2
,如图3、4知方程①在
时有唯一解,方程②在时有两解.
O
x
y
-1
y
1
O


图3 函数的图象图4 函数的图象
因此,可以得到如下结论:
结论1 函数在区间上是单调函数,且,
若代入解析式的是函数图象最高点或最低点的坐标时,有唯一解;若代入其它点的坐标时,均有两解(只有一个解符合题意),其中.
接下来解决第二个问题,对于文[2]所给的问题:函数在区间上单调递增,且,,曲线与轴交于点,的值取? 还是?.文[2]指出文[1]的不足之处,并给出了正确的解答,但比较繁琐,本文介绍一种简洁的方法.
解:将代入
得③
函数在区间上单调递增,且,则
文[2]中取,则④
由③④知
利用导数的性