12－第12讲函数的连续性.ppt

高等院校非数学类本科数学课程
——一元微积分学
大学数学(一)
第十二讲函数的连续性
脚本编写、教案制作:刘楚中彭亚新邓爱珍刘开宇孟益民
第三章函数的极限与连续性
本章学习要求:
了解函数极限的概念,知道运用“ε-δ”和“ε-X ”语言描
述函数的极限。
理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则
以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。
理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。
掌握无穷小量的比较,能熟练运用等价无穷小量计算相应的
函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。
理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极
限求相应的函数极限。
理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念,会判断函数
间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及
闭区间上连续函数的性质(介值定理、最值定理)。
理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法。
第三章函数的极限与连续性
第七、八节函数的连续性及其性质
一、连续函数的概念
二. 函数的间断点
连续函数的运算
及其基本性质

一、连续函数的概念
极限形式
增量形式
设 f (x) 在 U(x0) 内有定义, 若
则称函数 f (x) 在点 x0 处是连续的.
(极限形式)
可减弱:x0 为聚点
函数的连续性是一个局部性的概念, 是逐点定义的.
定义
是整个邻域
函数 f (x ) 在点 x0 处连续, 应该满足以下三点:
(1) f (x) 在 U(x0) 内有定义;(包括在点 x0 处有定义)
(极限值等于函数在点 x0 处的函数值)
函数 y = x2 在点 x = 0 处是否连续?
函数 y = x2 在点 x = 0 处连续.
又
且
 y = x 2 在 U(0) 内有定义,
例1
解
函数的连续性是通过极限定义的, 当然可以
运用《》语言描述它.
《-语言》形式
设函数 f (x) 在 U(x0) 内有定义.
, 若, 当| x  x0 | < 时, 有
则称函数 f (x) 在点 x0 处是连续的.
| f (x) f (x0) | < 
成立,
定义

在某过程中, 变量 u 的终值 u2 与它的
初值 u1 的差 u2  u1, 称为变量 u 在 u1处的
增量, 记为u = u2-u1.
定义
u 是一个整体记号, 它可以取正值、负值或零.
有时我们也称u 为变量 u 在 u1 处的差分.
设函数 f (x) 在 U(x0)
内有定义, xU(x0) , 则称
x = x  x0 为自变量 x 在
x0 点处的增量.
= f (x0 +  x)  f (x0 )
y = f (x)  f (x0 )
x
y
O
x0
x
x
y
y = f (x)
此时, x = x0 + x ,
相应地, 函数在点 x0 点处
有增量 y