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文档介绍
第三单元微分方程的基本概念
一、学习目标
通过本节课的学习,了解微分方程的基本概念.
二、内容讲解
设总成本函数为,已知条件为且,求.
是未知函数,将此问题用数学语言表成边际成本是,即.
固定成本是90,即.
这就是一个完整的数学模型,,另外在方程中还出现了未知函数的导数(或微分).这样就得到第一个概念:
——微分方程
含有未知函数的导数(或微分)的等式称为微分方程.
看下面两个方程:;
,:
微分方程中出现未知函数的导数(或微分)的最高阶数称为微分方程的阶.
上面所列第一个方程是一阶微分方程,第二个方程是二阶微分方程.
再看最初的问题这个问题的答案有
:
如果函数满足一个微分方程,即把这个函数代入微分方程后,使这个微分方程成为恒等式,则称此函数是该微分方程的解.
微分方程的解有很多,和80都是微分方程的解,它可以分为两种:
不带任意常数的解称为特解.
带有任意常数(且常数的个数等于微分方程的阶数)的解称为通解.
是微分方程的通解,
是微分方程满足的特解.
已知自变量取某值时,未知函数(或导数)取特定的值,这样的条件称为初始条件, 含有初始条件的微分方程称为初值问题.
归纳起来可知
是一阶微分方程;
是一个初始条件;
是一个初值问题;
是的通解;
是的特解.
未知函数及其各阶导数(或微分)都是一次的微分方程,称为线性微分方程
问题思考:是否为线性微分方程?
答案不是线性微分方程,因为是二次的形式.
三、例题讲解
例1已知某种产品的需求弹性恒为,且当价格为2时需求量为300,求需求函数.
解:设需求函数为,应满足
这就是整个问题的数学模型,.
四、课后作业
指出下列微分方程的阶数:
(1);(2);
(3).
(1)2阶 (2)1阶 (3)2阶
一、学习目标
通过本节课的学习,了解微分方程的基本概念.
二、内容讲解
设总成本函数为,已知条件为且,求.
是未知函数,将此问题用数学语言表成边际成本是,即.
固定成本是90,即.
这就是一个完整的数学模型,,另外在方程中还出现了未知函数的导数(或微分).这样就得到第一个概念:
——微分方程
含有未知函数的导数(或微分)的等式称为微分方程.
看下面两个方程:;
,:
微分方程中出现未知函数的导数(或微分)的最高阶数称为微分方程的阶.
上面所列第一个方程是一阶微分方程,第二个方程是二阶微分方程.
再看最初的问题这个问题的答案有
:
如果函数满足一个微分方程,即把这个函数代入微分方程后,使这个微分方程成为恒等式,则称此函数是该微分方程的解.
微分方程的解有很多,和80都是微分方程的解,它可以分为两种:
不带任意常数的解称为特解.
带有任意常数(且常数的个数等于微分方程的阶数)的解称为通解.
是微分方程的通解,
是微分方程满足的特解.
已知自变量取某值时,未知函数(或导数)取特定的值,这样的条件称为初始条件, 含有初始条件的微分方程称为初值问题.
归纳起来可知
是一阶微分方程;
是一个初始条件;
是一个初值问题;
是的通解;
是的特解.
未知函数及其各阶导数(或微分)都是一次的微分方程,称为线性微分方程
问题思考:是否为线性微分方程?
答案不是线性微分方程,因为是二次的形式.
三、例题讲解
例1已知某种产品的需求弹性恒为,且当价格为2时需求量为300,求需求函数.
解:设需求函数为,应满足
这就是整个问题的数学模型,.
四、课后作业
指出下列微分方程的阶数:
(1);(2);
(3).
(1)2阶 (2)1阶 (3)2阶
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