数学建模 第5章 微分方程建模(动态模型).doc

第5章微分方程建模(动态模型)
正规战与游击战
F. W. Lanchester预测战争结局的数学模型,只考虑1. 战争双方的兵力多少,2. 战斗力的强弱,3. 兵力的战斗减员和非战斗减员,4. 后备力量的增援.
战斗力即杀伤敌方的能力,与射击率、射击命中率、战争的类型(正规战或游击战)有关,此模型不考虑政治、经济、社会、宗教等因素.
战争模型用x(t)和y(t)表示甲、乙交战双方在时刻t的兵力,不妨视为双方的士兵人数. 假设
1. 每一方的战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力,用f(x, y)表示甲方的战斗减员率,g(x, y)表示乙方的战斗减员率.
2. 每一方的非战斗减员率(由疾病、逃跑等因素引起)与本方的兵力成正比.
3. 每一方的增援率是给定的函数,分别用u(t)和v(t)表示.
由此及彼可建立关于x(t)和y(t)的微分方程:
(1)
下面针对不同的战争类型讨论战斗减员率f,、g的具体表示形式,并分析影响战争结局的因素.
正规战争模型甲乙双方都用正规部队作战. 先分析甲方的战斗减员率f(x, y).
由于甲方士兵的活动是公开的,当一个甲方士兵被杀伤,乙方的火力立即集中到其余士兵身上,所以甲方的战斗减员率只与乙方兵力有关,简单地假设f与y成正比:f = ay,a表示一方每个士兵对甲方士兵的杀伤率(单位时间的杀伤数),称乙方的战斗有效系数. a可进一步分解为a = rypy,其中ry是乙方的射击率(每个士兵单位时间内的射击次数),py是每次射击的命中率.
类似地有g = bx, b = rxpx. 于是(1)化简为
(2)
再假设非战斗减员相对于战斗减员很小,可忽略不计,并假设双方都没有增援,记双方的初始兵力分别为x0和y0,则(2)又可简化为
(3)
由(3)两式相除得
dy/dx = bx/(ay), (4)
其解为
ay2 - bx2 = k. (5)
由初始条件有
k = ay02 - bx02. (6)
由(5)式确定的相轨线是双曲线,如图. 由(3)式知x, y都是t的减函数,随着
t的增加,x, y的变化趋势是沿轨线向左下方移动,如图中箭头所示. 如果k > 0,则轨线在y > 0处与y轴相交,即在某时刻t使x(t) = 0时,y(t) = (k/a)1/2 > 0,表明当甲方兵力为零时,乙方尚有兵力存在,即乙方获胜. 同理可知,k < 0时甲方获胜,k = 0时双方同归于尽,战成平局.
分析某一方,譬如乙方,取胜的条件. 由(6)式知乙方获胜的条件是
(y0/x0)2 > b/a = rxpx/(rypy), (7)
这说明双方初始兵力之比以平方关系影响战争结局. 例如,当甲方兵力不变,乙方的兵力增加到原来的2倍,则乙方影响战争结局的能力增加到原来的4倍. 或者说,若甲方的战斗力譬如射击率rx增加到原来的4倍(px, ry, py)均不变,则为了与此抗衡,乙方须将初始兵力增加到原来的2倍. 所以正规战争模型称为平方律模型.
游击战争模型双方都用游击部队作战.
甲方士兵在乙方士兵看不到的面积为sx的隐蔽区域内活动,乙方士兵不是向甲方士兵开火,而是向这个隐蔽区域射击,并且不知道杀伤情况. 这时甲方战斗减员率不但与乙方兵力有关,而且随甲方兵力的增加而增加. 这样