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第三章极限与函数的连续性.doc

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第三章极限与函数的连续性
§1 极限问题的提出
(Newton)
然后令,先,后。
(Cauchy)
§2 数列的极限
,记为。。
也称为数列的通项。
Exa。,

极限的概念
. ,当n无限大时,无限接近于0。因而的极限为0。
.
.
.
.
,n是一实数,若对于(充要)N>0,当n>N时,都有
|-|<
则称收敛即它的极限为,记为。
几何意义:

- +
外面仅有有限项。
(无穷小量是指一个极限概念,趋向常数0)
命题1. 的极限为n <=> 是无穷小量.
: .
证明:,要使|-0|<<.
只要,取N=
则当n>N时,有
|-0|=≤<
||<1,证明.
||n=
>0,证明.
证明:a≥1, .
.
.
,,则
(1) ;
(2) ;
(3) .
Th2.(有界性)设,则有界.
证明: 对时,
|-|<1
-1<<+1
||≤||+1
取M=max{1+||,||,||,…, ||}>0,
则||≤M, n=1,2,…
,则发散.
定理3(保号性):若,则N,当n>N时,有。
证明:由,取,N
当n>N时, |-|<
>-=>0 0
推论2:设,
若,N,当n>N时,有;
若,N,当n>N时,有。
定理1的证明:
1. 。
定理4:若{}是无穷小量,{}是有界数列,则{+}是无穷小量。
. 。
. 。
定理5(保序性):若,,N,当n>N时, 。
Th6.(极限不等式)
且则
Th7. (夹迫性):

=>
Ex13 其中A>B>0 求证

…

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