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第二章 群表示理论

、幺正、可约和不可约表示








表示的构成
群的表示
线性空间V 上有一个线性算符群

与群G={E, A1, A2, …Ag }同态，则集合T 称为群G在该线性空间上的表示。 V 称为表示空间， V 的维数为表示的维数。
群表示的定义一：
V：基矢 ，
一个算符 一定与一个矩阵 对应。
群表示的定义二：
设G是群，D是一个方阵集合，如果D与G同态，则称D是G的一个表示。与群元A 对应的矩阵D(A)称为群元A的表示矩阵。
根据定义，A，BG，若方矩阵D(A)  A和 D(B) B，则有D(A)D(B)= D(AB).
如果D与G同构，则D称为G的真实(faithful)表示。若同态，则称非真实表示。
任意一个有限群都存在单位表示。
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3. 如何确定群的表示（非单位表示）
例1. D3 群在三维实空间的表示。
群元 R ↔ 算符T(R) ，
则M(R) 是群元R的一个表示。
空间基矢 ，任意矢量
C3作用在三维空间基矢上得到其矩阵表示。
作用在三维空间基矢上得到其矩阵表示。
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D3 群的乘法表
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群元 R ↔ 算符T(R) ，
则M(R) 是群元R的一个表示。
例2. 群在以 为基矢的二维函数空间中的矩阵表示。
作业：写出C3v群在三维空间的表示矩阵。