4 三角有理函数积分.doc

§4 三角有理函数积分
三角函数有理式 型的积分
 万能代换: 万能代换常用于三角函数有理式的积分, 令,
就有       ,
               ,  
               .
解法一( 用万能代换)  .
解法二( 用初等化简)  .
解法三( 用初等化简, 并凑微)
    
      
代换法是一种很灵活的方法.
 例 1  求, (以下采用Matlab 帮助计算)
f='2*(1+sin(x))/(sin(x)*(1+cos(x))*(1+t^2))';
 f1=simplify(subs(subs(f,'2*t/(1+t^2)','sin(x)'),'(1-t^2)/(1+t^2)','cos(x)'))    
f1 = 1/2*(1+t^2+2*t)/t  
expand(f1)
 ans = 1/2/t+1/2*t+1
               
 int(f1)
ans = 1/4*t^2+t+1/2*log(t)
 
例 2  求
 f='2*(3-sin(x))/((3+cos(x))*(1+t^2))';
 f1=simplify(subs(subs(f,'2*t/(1+t^2)','sin(x)'),'(1-t^2)/(1+t^2)','cos(x)'))    
 f1 = (3+3*t^2-2*t)/(2+t^2)/(1+t^2)
利用部分分式展开,积分
f2=int(f1)
f2 =log(2+t^2)+3/2*2^(1/2)*atan(1/2*t*2^(1/2))-log(1+t^2)
例3     求
 解   
 f='1/(a^2*t^2+b^2)'; int(f)
ans = 1/b/a*atan(a*t/b)
                  
例4
 s='t-sqrt((x+2)/(x-2))';x=solve(f)
 x = 2*(1+t^2)/(-1+t^2)
simplify(diff(x,'t'))
ans = -8*t/(-1+t^2)^2
 g='-8*t^2/(x*(t^2-1)^2)';
g1=simplify(subs(g,'x','2*(t^2+1)/(t^2-1)'))    
g1 = -4*t^2/(1+t^2)/(t^2-1)
int(g1)
ans = -log(t-1)+log(1+t)-2*atan(t)
                  
 f='t^2-(2-x)