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向量基底的选择

2 2 _ 2 .
,使PA + PB +PC 的值最小。
解：如图1 :
图I
设 CA=a, CB=b, CP=x，以 a, b, X 为一组基底，有:
T T T T T T
PA=a— x, PB = b — x
故 |PA2 |PB|2 |PC|2
T T T
=PA 2 PB 2 PC
T
(a
T
3 x 2
T
(b
T b
-2
x )
T
x
T
b2
T
3[ x
-( a b )] 3
T b2
一 3( a
)2
,1 1 一'
所以，当x=—(a + b)时，
3
2 2 2
|PA|十|PB| 十|PC|的值最小
T T T
PA+ PB+PC =0 ,
即P点为△ ABC
的重心，因此，当P为△ ABC
2 2 一 2 .., 一.
PA+PB +PC的值最小。
，相关顶点为终点的向量作基底
，P、Q分别为对角线 AC、BD的中点，E、G、F、 AD、AB、BC、CD的中点，求证： EF、GH、PQ的中点重合。
此时，
重心时，
H分别为边
图2
—f —i -f —,> T T
证明：以平面上任一点 。为始点，设OA = a , OB = b , OC = c ,
以"a, "b, "C, "d为基底，有:
OE
OG
r(
T
OP
2(
OF
OH
OQ
1(
T b
)
设EF、GH、PQ的中点分别为
Mi、M2、M3,则
一 1 「 「 1 ' '' ‘
0Ml (OE OF ) = —( a b c d )
2 4
- 1 1 ’
OM 2 = — (OG OH)=—(a b c d)
2 4
—■ 1 — — 1 ■ ' 、‘
PQ (OP OQ)=—(a b c d) 2 4
故M1、M2、M3重合,
即EF、GH、PQ的中点重合。

的面积分别为
例 3,在^ ABC 内任取一点 O, △ BOC、△ AOC、△ AOB
T T T t
Sa、Sb、Sc，证明：Sa • OA+Sb • OB+Sc • OC = 0。
证明：设OA =|OA
图3
-f T -f —*
|e1 , OB =|OB |e2 ,
OC =|OC |e3，以单位向量e1
T T 、
e2 、 e3 为
基底，并设/ BOC = a , Z AOC =
,/ AOB = 丫，则有:
Sa
1工 /
= &|OC| • |OB|sin口
所以,
Sa
同理:
， 1 — —
OA = 2 |OA | • |OB |
r 1 r
OB = — |OA | . |OB |
2
T T
|OC | e1 sin 二
T T R
|OC | e2 sin
SC
OC
=’|OA | . |OB || OC | e 3 sin
所以，Sa
T
OA SB
T T
OB + SC • OC