高等代数【北大版.ppt

§ §4 4 最大公因式最大公因式§ §5 5 因式分解因式分解§ §6 6 重因式重因式§ §10 10 多元多项式多元多项式§ §11 11 对称多项式对称多项式§ §3 3 整除的概念整除的概念§ §2 2 一元多项式 一元多项式 § §1 1 数域数域§ §7 7 多项式函数多项式函数§ §9 9 有理系数多项式有理系数多项式§ §8 8 复、实系数多项式复、实系数多项式的因式分解的因式分解第一章第一章多项式多项式一、一、一一元多项式根与系数的关系元多项式根与系数的关系二、二、 n n元对称多项式元对称多项式三、一元多项式的判别式三、一元多项式的判别式§ § 对称多项式对称多项式——韦达定理设① 1 2 1 2 ( ) [ ] n n n n f x x a x a x a P x ? ?? ? ?????若在上有个根,则( ) f x 1 2 , , , n ? ? ?? nP 1 2 ( ) ( )( ) ( ) n f x x x x ? ??? ? ???②把②展开,与①比较,即得根与系数的关系: 一、一元多项式根与系数的关系§ § 对称多项式对称多项式 1 2 1 1 2 2 1 2 1 3 1 1 2 ( 1) ( 1) in n n i i k k k n n n aaaa ? ? ??????????????? ??????? ??????? ????? ???????????????????????????(所有可能的 i 个不同的的积之和) jka ,特别地,为其根, 2 0 ( 0) ax bx c a ? ??? 1 2 , x x 1 2 1 2 , b c x x x x a a ? ?? ?则有§ § 对称多项式对称多项式二、n元对称多项式定义设, 1 1 2 ( , , ) [ , , , ], n n f x x P x x x ?? ?若对任意,有, (1 , ) i j i j n ? ? 1 1 ( , , , , , , ) ( , , , , , , ) jnijin f x x x x f x x x x ?? ?????则称该多项式为对称多项式. 如, 3 3 3 1 2 3 1 2 3 ( , , ) f x x x x x x ? ??§ § 对称多项式对称多项式下列 n个多项式 1 1 2 2 1 2 1 3 1 1 2 n n n n n x x x x x x x x x x x x ????? ?????? ????????????????????称为个未定元的初等对称多项式. n 1 2 , , , n x x x ?§ § 对称多项式对称多项式 1. 对称多项式的和、积仍是对称多项式; 对称多项式的多项式仍为对称多项式. 则 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) m n g f f f h x x x ?? ?是元对称多项式. n 特别地,初等对称多项式的多项式仍为对称多项式. 若为对称多项式, 1 2 1 2 , , , [ , , , ] m n f f f P x x x ?? ?为任一多项式, 1 2 ( , , , ) m g y y y ?性质即, § § 对称多项式对称多项式 , 都有 n元多项式 1 ( , , ) n f x x ?,使得 1 2 ( , , , ) n y y y ?? 1