稳定性模型——食饵捕食者地中海鲨鱼问题.ppt

微分方程稳定性模型食饵—捕食者模型地中海鲨鱼问题 0:52 教案教学目的:通过地中海鲨鱼问题,了解食饵——捕食者模型。引入相轨线概念,讨论平衡点。重点:线性规划思想、概念。难点:相轨线概念,及此方法讨论平衡点。手段:通过意大利生物学家 Umberto D ’ Ancona 提出的地中海鲨鱼问题,给出食饵——捕食者微分方程组模型。不求解方程组,通过相轨线概念,讨论平衡点。备注: 1。鼓励学生发现实际生活中的问题,做社会实践。 2 .涉及简单积分。 0:52 地中海鲨鱼问题 20世纪 20年代中期,意大利生物学家 Umberto D ’ Ancona 偶然注意到第一次世界大战期间在原南斯拉夫的里耶卡港, 人们捕获的鱼类中,鲨鱼等软骨鱼的百分比大量增加(见表 3-2 ),而供其捕食的食用鱼的百分比却明显下降。显然,战争使捕鱼量下降,食用鱼应该增加,鲨鱼等软骨鱼也随之增加,但为何其比例大幅度增加呢? 年代 1914 1915 1916 1917 1918 百分比( %) 年代 1919 1920 1921 1922 1923 百分比( %) 百思不得其解的 D’ Ancona 求助于他的同事——著名的意大利数学家 Vito Volterra ,希望他能对软骨鱼及食用鱼的增长情况建立一个数学模型。后来, Volterra 成功地利用微分方程组解释了这一现象。建立微分方程组模型设食用鱼的数量为 x(t) ,鲨鱼等软骨鱼的数量为 y(t) ,根据鲨鱼靠捕食食用鱼为生这一事实,假设 a为食饵(食用鱼)的自然增长率, b为捕食者(鲨鱼)掠取食饵的能力的比例系数, c为捕食者死亡率, f为食饵对捕食者的供养能力(使捕食者增多)的比例系数。我们建立下面的微分方程组: ???????????? fxy cy dt dy bxy ax dt dx (1) bx 为单位鲨鱼捕食量; fy为单个食饵对捕食者的供养能力。其中 a、b、c、f皆为正常数。方程组( 1)给出了在没有捕鱼的情况下,软骨鱼和食用鱼之间相互影响的关系。平衡点与稳定性一般情况下,我们并不想知道方程组( 1)中 x(t) 、 y(t) 的变化规律而只关心 t→+∞时 x(t) 、 y(t) 的变化趋势,因此, 只要讨论方程组( 1)的平衡点及稳定性即足矣。?????????????yxgdt dy yxfdt dx, ,平衡点 P 0 (x 0 ,y 0)就是右端对应代数方程组的解,仅当 limx(t)=x 0且 limy(t)=y 0时,我们说平衡点 P 0是稳定的。称 x=x 0, y=y 0为方程组( 2)的平衡解。?????????0, 0,yxg yxf (2) 注意到,方程组(1) 有两组平衡解 x(t)=0 , y(t)=0 及 x(t)=c/f , y(t)=a/b 。对第一组平衡解,没有讨论的实际意义。我们在 x>0 , y>0 的范围内对方程组( 1)进行讨论。用相轨线分析平衡点 P(c/f,a/b) 的稳定性。对于 x≠0,y≠0,(1)两式相除,得???? by ax fxcy bxy ax fxy cy dx dy????????(3) 易解得( 3)式的解为 a c by fx y x K e e ? ?(4) 其中, K为任意常数,由初始条件确定。定理 1对于 x>0 , y>0 ,方程(4) 给出了一族封闭曲线(相轨线),且每条封闭曲线不包含方程组(1) 的任何平衡点。由定理 1,当 x(0) 及 y(0) 皆为正数时,方程组(1) 的解 x(t) , y(t) 都是时间 t的周期函数,设周期为 T>0 。方程(4) 无解析解,数值积分求解,绘制如下图注意到平衡点 P(c/f,a/b) ,在图中分析得 1234 : 0, 0 ( ) ( ) : 0, 0 ( ) ( ) : 0, 0 ( ) ( ) : 0, 0 ( ) ( ) T x y x t y t T x y x t y t T x y x t y t T x y x t y t ? ????? ????? ????? ????? ?? ?? ?? ?这是稳定的一种形式。捕食者与食饵的数量~ x(t) 和 y(t) 一个周期内的平均值 D’ Ancona 的数据是捕食者每年的年平均数,为了比较,我们必须算出方程组(1) 的解 x(t) 、 y(t) 的平均值。我们易算出???????? 0 0 1