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数学分析数列极限分析解析
第二章 数列极限
§1 数列极限概念
教学目的与要求：
使同学们理解数列极限存在的定义，数列发散的定义，某一实数不是数列极限的定义；掌握用数列极限定义证明数列收敛发散的方法。
教学重点，难点：
数列极限存在和数列发散定义的理解；切实掌握数列收敛发散的定义，利用数列收敛或发散的定义证明数列的收敛或发散性。
教学内容：
一、课题引入
1°预备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。
2°实例：战国时代哲学家庄周著《庄子·天下篇》引用一句话“一尺之棰，日取其半，万古不竭。”将其“数学化”即得，每天截后剩余部分长度为（单位尺）
，，，……，，……
或简记作数列：
分析：1°、随n增大而减小，且无限接近于常数0；
数形结合方法
2°数轴上描点，将其形象表示：

χ
1
0
-1
将其一般化，即引出“数列极限”概念
an无限接近常数a
当n无限增大时
二、数列极限定义
1°将上述实例一般化可得：
对数列，若存在某常数a，当n无限增大时，an能无限接近常数a，则称该数为收敛数列，a为它的极限。
例如：， a=0；
为什么强调存在N
， a=3;
， a不存在，数列不收敛；
， a不存在，数列不收敛；
2°将“n无限增大时”，数学“符号化”为：“存在N，当n＞N时”
任给—：无限接近
将“an无限接近a”，数学“符号化”为：任给ε＞0＜ε
例如对以3为极限，对ε=，要使
=
只需取N=10，即可
3°“抽象化”得“数列极限”的定义
定义：设是一个数列，a是一个确定的常数，若对任给的正数ε，总存在某一自然数N，使得当n＞N时，都有
＜ε
则称数列收敛于a，a为它的极限。记作
｛(或an→a,(n→))
说明
（1）若数列没有极限，则称该数列为发散数列。
（2）数列极限定义的“符号化”记法： 这是用极限定义证明的具体方法
（为什么？）思考
＞0，N，当n＞N，有＜ε
（3）上述定义中ε的双重性：ε＞0是任意的，但在求N时，又可视为是给定的，由“任意性”可知，不等式＜ε，可用＜2ε，＜ε2……来代替 “＜”号也可用“≤”号来代替（为什么？） 思考 双重性
（4）上述定义中N的双重性：N是仅依赖于ε的自然数，有时记作N=N（ε）（这并非说明N是ε的函数， （为什么？）思考
是即：N是对应确定的！但N又不是唯一的，只要存在一个N，就会存在无穷多
证.,当n,有
由定义
适当予先限定n＞n。是允许的！但最后取N时要保证n＞n。
例3．证明=0，这里＜1
=0,结果显然成立
若0＜＜1，令=＞0)
由于≤＜
所以，＞0，取N=＞N，有＜
注：1°特别地写当q=时，此即为上述实例中的
２°贝努利不等式（１＋h）n≥1+nh.
3°由例2、例3看出，在由＜ε中求N时，适当的 “放大”不等式，可以简化运算。而“放大”的技巧应引起同学们注意体验、总结。如：用已知不等式，用限定“n＞n。”等方法。
例4．证明，其中a＞1
-1=，则＞0
由贝努利不等式 =（1+）n≥1+n=1+n（）或≤
＞0，取N=，当n＞N有＜ε 思考：这里取N=也可以，为什么？
四、等价定义与无穷小数列
定义 任给＞0，若在U（a;）之外数列中的项至多只有有限个，则称数列收敛于极限a。
由定义 可知，若存在某0＞0，使得数列中有无穷多个项落在U(a；0)之外，则一定不以a为极限。
例5 证明和都是发散数列。
分析 利用定义
证
例6 设，作数列﹛zn﹜如下：
﹛zn﹜：x1，y1，x2，y2，…，xn，yn，…。
证明 。
分析 利用定义
证
例7 设为给定的数列，为对增加、减少或改变有限项之后得到的数列。证明：数列与同时为收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等。
分析 利用定义
证 设为收敛数列，且=a。按定义，……。
现设发散，倘若收敛，则因可看成是对增加、减少或改变有限项之后得到的数列，故由刚才所证，收敛，矛盾。所以当发散时也发散。
在所有收敛数列中，有一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下：
定义2 若，则称为无穷小数列。
前面例1、2、4中的数列都是无穷小数列。由无穷小数列的定义，读者不难证明如下命题：
定理2. 1 数列收敛于的充要条