关于彩票问题的数学模型全国一等奖.docx

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关于彩票问题的数学模型全国一等奖
全国一等奖
关于彩票问题的数学模型
电子科技大学
指导教师：张勇
参赛队员：付小锋　丘允阳　胡俊东
关于彩票问题的数学模型
摘要：
本文对彩票问题从数学的角度进行了分析研究，对29种常见方案的合理性进行了综合评价，设计了两种“更好”的方案。
首先，计算出各类型彩票各奖项的中奖概率。将中奖面和一等奖单注奖金的期望值作为方案合理性的评价指标，建立了一双目标优化模型。考虑到中奖面和一等奖单注奖金的期望值处于不同的数量级，对它们进行了规一化处理，然后引入非负加权因子，从而将双目标优化模型转化为单目标优化模型进行求解。考虑到不同的彩民对中奖面和一等奖单注奖金期望值的偏好程度不同，给出了适合于不同彩民的合理方案。
我们分别设计了面向“保值型”彩民的“22选5”方案和面向“激进型”彩民的双彩池摇奖方案，给出了相应的算法并对其可行性进行了分析。对彩票管理部门提出了设“积宝池”、使用调节基金、采用“二次开奖”和“附加奖”等建议。
最后，对模型进行了分析和评价，提出了模型的改进方向。并给报纸写了一篇关于合理选择彩票问题的文章。
关于彩票问题的数学模型
问题的提出：
巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。
“传统型”采用“10选6+1”方案，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级（具体摇奖规则及中奖等级说明见附件一）；“乐透型”有多种不同的形式，分为“m选n”型方案和“m选n+1”型方案，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序（具体摇奖规则及中奖等级的说明见附件二）。
已知这两种类型彩票的总奖金比例一般为销售总额的50%，投注者单注金额为2元，单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案如附表三，其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。低项奖数额固定，高项奖按比例分配，但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元，各高项奖额的计算方法为：
[(当期销售总额 ×总奖金比例) -低项奖总额 ]×单项奖比例
（1）根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。
（2）设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出建议。
（3）给报纸写一篇短文，供彩民参考。
问题分析：
问题的第一问要求对29种彩票方案进行综合分析并评价各方案的合理性，考虑彩票发行人的获利情况和彩票方案对彩民的吸引力两个方面因素，分析彩票方案合理性。一套方案对彩民的吸引力越大，则它的销售总额也就越大；在销售规则不变的前提下，发行人的获利就越多。因此，方案对彩民的吸引力是影响彩票方案合理性的主要因素。
要评价方案的合理性关键在于确立关于方案合理性的评价指标。根据“不确定条件下消费者选择理论”，中奖率低但中奖额高是影响吸引力的主要因素。因此可以考虑将彩票的中奖面和高等奖单注奖金的期望值作为评价指标，来衡量各方案的合理性。
由于一等奖占高等奖奖金的60%以上，可以考虑用一等奖单注期望值代替高等奖单注奖金期望值作为评价指标，这并不影响对方案合理性的分析。由于一等奖单注奖金的期望值和中奖面之间又存在相互制约的关系，可以考虑建立双目标优化模型对问题进行研究。不同类型的彩民对两者的偏好程度不一样，高风险倾向彩民主要偏向于一等奖单注奖金的期望值，低风险倾向彩民主要偏向于中奖面。根据实际情况，可以引进偏好系数，考虑在不同偏好系数下，适合该类型彩民的合理性方案。
基本假设：
彩票的摇奖过程是公正的，即能够保证基本号和特别号的产生是随机的。
单注彩票若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。
各类型彩票的总奖金比例为其当期销售总额的50%。
一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元。
当期未中出的浮动奖奖金，或者超出头等奖单注封顶限额部分的奖金，考虑自动滚动到下一期一等奖，直至中奖。
不考虑中奖弃领的情况。
只讨论“传统型”和“乐透型”两种类型。
方案中没有设置奖金的奖项的中奖概率计为零。
变量说明：
k ：销售方案中设置的最低奖项的等级。
Pi (i=1,2,…,k) ：第i等奖出现的概率。
qi (i=4,5,…,k) ：低项奖中第i等奖对应的固定奖金额。
ti (i=1,2,3) ：高项奖中第i等奖对应的分配比例。
N ：当期彩票的总投注数（单位：注）。
Z ：一等奖奖金的期望值。
P ：彩票的中奖面。
m ：摇奖时