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文档介绍
Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】
施密特正交化
施密特正交化
在中，如果上的一组向量能够张成一个，那么这一组向量就称为这个子空间的一个基。Gram－Schmidt正交化提供了一种方法，能够通过这一子空间上的一个基得出子空间的一个，并可进一步求出对应的。
这种正交化方法以和命名，然而比他们更早的（Laplace）和（Cauchy）已经发现了这一方法。在李群分解中，这种方法被推广为（）。
在数值计算中，Gram－Schmidt正交化是的，计算中累积的舍入误差会使最终结果的正交性变得很差。因此在实际应用中通常使用或进行正交化。
记法
：为n的内积空间
：中的元素，可以是向量、，等等
：与的
：、……张成的
：在上的
基本思想
图1v在V2上投影，构造V3上的正交基β
Gram-Schmidt正交化的基本想法，是利用投影原理在已有正交基的基础上构造一个新的正交基。
设。Vk是Vn上的k维子空间，其标准正交基为，且v不在Vk上。由投影原理知，v与其在Vk上的投影之差
是正交于子空间Vk的，亦即β正交于Vk的正交基ηi。因此只要将β单位化，即
那么{η1,...,ηk+1}就是Vk在v上扩展的子空间span{v,η1,...,ηk}的标准正交基。
根据上述分析，对于向量组{v1,...,vm}张成的空间Vn，只要从其中一个向量（不妨设为v1）所张成的一维子空间span{v1}开始（注意到{v1}就是span{v1}的正交基），重复上述扩展构造正交基的过程，就能够得到Vn的一组正交基。这就是Gram-Schmidt正交化。
算法
首先需要确定扩展正交基的顺序，不妨设为。Gram-Schmidt正交化的过程如下：
施密特正交化
施密特正交化
在中，如果上的一组向量能够张成一个，那么这一组向量就称为这个子空间的一个基。Gram－Schmidt正交化提供了一种方法，能够通过这一子空间上的一个基得出子空间的一个，并可进一步求出对应的。
这种正交化方法以和命名，然而比他们更早的（Laplace）和（Cauchy）已经发现了这一方法。在李群分解中，这种方法被推广为（）。
在数值计算中，Gram－Schmidt正交化是的，计算中累积的舍入误差会使最终结果的正交性变得很差。因此在实际应用中通常使用或进行正交化。
记法
：为n的内积空间
：中的元素，可以是向量、，等等
：与的
：、……张成的
：在上的
基本思想
图1v在V2上投影，构造V3上的正交基β
Gram-Schmidt正交化的基本想法，是利用投影原理在已有正交基的基础上构造一个新的正交基。
设。Vk是Vn上的k维子空间，其标准正交基为，且v不在Vk上。由投影原理知，v与其在Vk上的投影之差
是正交于子空间Vk的，亦即β正交于Vk的正交基ηi。因此只要将β单位化，即
那么{η1,...,ηk+1}就是Vk在v上扩展的子空间span{v,η1,...,ηk}的标准正交基。
根据上述分析，对于向量组{v1,...,vm}张成的空间Vn，只要从其中一个向量（不妨设为v1）所张成的一维子空间span{v1}开始（注意到{v1}就是span{v1}的正交基），重复上述扩展构造正交基的过程，就能够得到Vn的一组正交基。这就是Gram-Schmidt正交化。
算法
首先需要确定扩展正交基的顺序，不妨设为。Gram-Schmidt正交化的过程如下：
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