向量组与矩阵.pptx

一、向量组与矩阵
由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.
m个n维的行向量所组成的向量组 构成矩阵：
n个m维的列向量所组成的向量组 构成矩阵：
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向量组 　称为矩阵A的行向量组．
问题：是否可以利用矩阵来研究向量组的相关问题？
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例如研究列向量组 的线性相关性，只须考察方程
是否有非零解。
利用矩阵乘法，方程变形为
这样由上一章线性方程组有解的条件可得如下结论：
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行向量组 线性相关的充要条件是
线性无关的充要条件是
推论
定理 1
若列向量组 所构造的矩阵A，则
例 1 讨论下列向量组的线性相关性
解 （1）向量组是3个二维向量，故线性相关。
（2）由矩阵
初等行变换
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(1)如果 线性相关， 那么 也线性相关。
定理 3 在r维向量组 的各向量添上n-r个分量变成n维
向量组 。
(2)如果 线性无关，那么 也线性无关。
定理 2 设p1,p2, …,pn为1，2，…，n的一个排列， 和
为两向量组，其中
即 是对 各分量的顺序进行重排后得到的向量组，则这两个向量组有相同的线性相关性。
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例 2 设向量组 且t 互不相等，
证明 线性无关。
i
证明： 考察向量组
设
则其行列式|B|为范德蒙行列式，
由于t 互不相等，所以|B|≠0，
i
所以 线性无关，
从而 线性无关。
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二、极大线性无关组与向量组的秩
定义1 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个
部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中向这部分组任
意添一个向量（如果还有的话），所得的部分组都线性相关。
极大无关组中向量的个数就称为向量组的秩 。
易知有如下结论：
（1）一向量组的极大线性无关组与向量组本身等价。
（2）向量组线性无关当且仅当其秩等于向量组所含向量的个数。
例 3 基本向量组 是Rn 的极大无关组。
解 由上一节，基本向量组是线性无关的，且任何一个n维向量都可以由它线性表示（即坐标表示）。
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定理 4 如果向量组 能由向量组 线
性表出，且向量组A线性无关，那么 。
证明
不妨设所给向量都是列向量，记矩阵
由已知可得
记
则
反证法，假设 ，则矩阵K 的列向量组线性相关，即有不全为0的数
使得
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即
与向量组A 线性无关矛盾，所以
推论 2 等价的向量组必有相同的秩 。
推论 1 等价的线性无关向量组必含有相同个数的向量 。
推论 3 秩为r的向量组中任意含r个向量的线性无关的部分组
都是极大线性无关组。
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三、向量组的秩与矩阵的秩的关系
设矩阵
则矩阵A可以看作由m个n维行向量或n个m维列向量构成，从而可以得到一个行向量组和列向量组。矩阵A行向量组的秩称为A的行秩，列向量组的秩称为列秩。
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