自动控制原理 - 控制系统的微分方程.ppt

什么是数学模型?
所谓的数学模型，是描述系统动态特性及各变量之间关系的数学表达式。控制系统定量分析的基础。
数学模型的特点
1) 相似性：不同性质的系统，具有相同的数学模型。
2) 简化性和准确性：忽略次要因素，简化之；准确体现了系统性质。
3) 静态模型：静态条件下，各变量之间的代数方程。放大倍数
4) 动态模型：变量各阶导数之间关系的微分方程。性能分析
数学模型的类型
1)微分方程：时域 其它模型的基础 直观 求解繁琐
2)传递函数：复频域 微分方程拉氏变换后的结果
3)频率特性：频域 分析方法不同，各有所长
数学模型的概念
列写微分方程式的一般步骤
1) 分析系统运动的因果关系，确定系统的输入量、输出量及内部中间变量，搞清各变量之间的关系。
2) 忽略一些次要因素，合理简化。
3) 根据相关基本定律，列出各部分的原始方程式。
4) 列写中间变量的辅助方程。
方程数与变量数相等！
5) 联立上述方程，消去中间变量，得到只包含输入输出的方程式。
6) 将方程式化成标准形。
与输出有关的放在左边，与输入有关的放在右边，导数项按降阶排列，系数化为有物理意义的形式。
系统微分方程的建立
三个基本的无源元件：质量m,弹簧k,阻尼器f
对应三种阻碍运动的力:惯性力ma;弹性力ky;阻尼力fv
例1 弹簧-质量-阻尼器串联系统。
试列出以外力F(t)为输入量，以质量的位移y(t)为
输出量的运动方程式。
解：遵照列写微分方程的一般步骤有：
（1）确定输入量为F(t)，输出量为y(t)，作用于质
量m的力还有弹性阻力Fk(t)和粘滞阻力Ff(t)，均作为
中间变量。
（2）设系统按线性集中参数考虑，且无外力作用时，
系统处于平衡状态。
K
m
f
F(t)
y(t)
机械平移系统举例
（3）按牛顿第二定律列写原始方程，即
（5）将以上辅助方程式代入原始方程,消去中
间变量,得
（6）整理方程得标准形
（4）写中间变量与输出量的关系式
K
m
f
F(t)
y(t)
电路系统举例
例2 电阻－电感－电容串联系统。R-L-C串联电路，试列出以ur(t)为输入量，uc(t)为输出量的网络微分方程式。
R
C
ur(t)
uc(t)
L
解：（1）确定输入量为ur(t)，输出量为uc(t)，中间变量为i(t)。
（2）网络按线性集中参数考虑且忽略输出端负载效应。
（4）列写中间变量i与输出变量uc 的关系式:
（5）将上式代入原始方程，消去中间变量得