定积分基本计算公式-定积分的计算公式.doc

定积分基本计算公式-定积分的计算公式.doc§
一定积分计算的基本公式
设函数/（兀）在区间［4, 〃］上连续，并且设兀为
［4#］上的一点，考察定积分
X X
J f（x）dx = f
如果上限工在区间［0,方］上任意变动，则对 于每一个取定的工值，定积分有一个对应值，所 以它在［0,〃］上定义了一个函数，
.X
记＜d（x）= £ 积分上限函数
IDNdYAN UNIVfRSnY
定理1如果/（兀）在S#］上连续，则积分上限的函
Y
数是
(a < x < b)
0 (x + Ax
AO = O(x + Ax) - C>(x)
y
数①（兀）訂fgt在S#］上具有导数，且它的导 Ja
O处签孝ft
嘔込矽/ IDNdYAN UMIVtRSri Y
x x +Ax
=[/( w + Jx
J fltyt
J a
由积分中值定理得
y
o a x + Ax b A0 = f (^)Ax^ g在兀与兀+ △兀之I'可.
△① A①
—=/(§)，Hm —= lim /(^)
Ax A兀TO Ax Ax->0
Ax -> 0, f T 兀 ・•・①'(x) = f(x).
如果/(/)连续，«(x)＞方(兀)可导，则 F(x) =(b(X)f(t)dt 的导数为
Ja(x)
d 异(兀) r - r -
F,M = —j f(t)dt = f[b(x)]b,(x)-f[a(x)]a,(x)
证:
.b(x) /(x)
=Jo f - £ f (t)dt y
Ff(x) = f[b(x)]bf(x)- f[a(x)]a\x)
LON（iWN UNIVERSri Y
求lim
2 X
分析：这是 型不定式，应用洛必达法则.
-（cos 兀）'
lim
x-> 0
sin
dt
x2
lim
x—> 0
2
• -COS X
sin x
2x
2e
例2设/(工)在(-00
)内连续,且/(x)>0.
证明函数F(x) =
加函数.
£ tf (t)dt
£ /⑴力
在(0,+oo)内为单调增
dx Jo
tf (t)dt = xf (x),
f(x\
Ff(x) =
x X
xf (x)Jo f (t)dt -/(x)£ tf (t)dt
([")〃)