基本不等式学案.doc

基本不等式学案.doc基本不等式学案
目标：（1）掌握基本不等式（2）注意使用基本不等式的条件与注意点
过程：
一、引入：图一是在北京召开的第24届数学家大会的会标，会标是根据我国古代数学家赵 爽的“弦图”设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，我们把“风车”造型抽象成图二
思考1：这个“风车”中含有哪些的几何图形？
思考2：这些几何图形的面积有什么关系呢？
1、 正方形的面积S=.
2、 .四个全等Rt三角形的面积和S，=.
3、 S与S，有什么样的关系？
4、 S与S，有相等的情况吗？何时相等？
二、重要不等式：对任意的实数a,b, a2+b2>2ab,当且仅当 等号成立
注：如果a>Q,b>0,用代替a,b ,上式可变为 三、基本不等式：当a,be RL 同巳生虫，当且仅当a = b等号成立
2
证明过程：要证
^>4ab
2
①
只需证
②（同时平方）
要证②只需证
>0
③（右边的项移到左
侧）
要证③只需证
( - )2>0
④
显然④=b时，等号成立.
探究：如图,AB是圆o的直径，Q是AB上任一点,
AQ=a,BQ=b,过点Q作垂直于AB的弦PQ,连AP,BP„
PQ=, PO=
你能利用这个图形，得到基本不等式的几何解释吗？
基本不等式：当a,beR\4^b<^-,当且仅当a=b等号成立
2
注1：面叫做几何平均数，Q叫做算术平均数
2
注2：基本不等式经常如下使用：
（l）a + b>24ab （2）aZ? < （^|^）2 （a,bwR+,当且仅当a =5时取到等号） 若x+y = s （和为定值），则当x=y时，积xy取得 若xy = p （积为定制），则当x = y时，和x+y取得
注3：两个正数，积为定值，则和有最小值；和为定值，则积有最大值。
四、例题演示：
4
例1已知尤〉0,则函数y = x + —的最小值为
x
_ 4
变式1：已知x<0 ,则函数y = x + —有最 值，为
x
4
变式2：已知尤〉3,则函数y = x + 的最小值为
x ~3
4
变式3：已知尤23,贝0函数y = x + —的最小值为
x
解题感悟：
练一*练：
（1）若正数农,〃满足m + n = 6,贝U如有最 值 ，此时秫= ,n =
（2）若正数满足mn = 6,则农+ 3〃有最 值 ，此时,n =
2：已知Ovxvl,求函数尸尤（1-尤）的最大值
变式：知0< 求函数y =工（1-2尤）的最大值；
设x, y满足x + 4y = 40 ,且x,y都是正数，则Igx + lgy的最大值是（
A. 40
B. 10
C. 4
D. 2
在下列函数中，最小值为2的是（
A. y = x + - B. y = 3"+37
X
y = sinx+ (0<x<—)
sinx 2
若x〉4,则函数v = "_L ( x-4
-6.
C. y=lgx-\■— (l<x<10)
Igi
)
C有最大值-2