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积分变换法求解定解问题
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积分变换法是通过积分变换简化定解问题的一种有效的求解方法．对于多个自变量的线性偏微分方程，可以通过实施积分变换来减少方程的自变量个数，直至化为常微分方程，这就使问题得到大大简化，再进行反演，就得到了原来偏微分方程的解．积分变换法在数学物理方程（也包括积分方程、差分
方程等）中亦具有广泛的用途．尤其当泛定方程及边界条件均为非齐次时，用经典的分离变量法求解，就显得有些烦琐和笨挫，而积分变换法为这类问题提供了一种系统的解决方法，并且显得具有固定的程序，按照解法程序进行易于求解．利用积分变换，有时还能得到有限形式的解，而这往往是用分离变
量法不能得到的．
特别是对于无界或半无界的定界问题，用积分变换来
求解，最合适不过了．（注明：无界或半无界的定界问题
也可以用行波法求解）
用积分变换求解定解问题的步骤为：
第一：根据自变量的变化范围和定解条件确定选择适当
的积分变换；
对于自变量在
内变化的定解问题
（如无界域的坐标变量）
常采用傅氏变换，而自变量在
内变化的定解问题（如时间变量）常采用拉氏变换．
第二：对方程取积分变换，将一个含两个自变量的偏微分方程化为一个含参量的常微分方程；
第三：对定解条件取相应的变换，导出常微分方程的定解条件；
第四：求解常微分方程的解，即为原定解问题的变换；
第五：对所得解取逆变换，最后得原定解问题的解．
　傅里叶变换法解数学物理定解问题
用分离变量法求解有限空间的定解问题时，所得
到 的本征值谱是分立的，所求的解可表为对分立本征
值求和的傅里叶级数．对于无限空间，用分离变量法
求解定解问题时，所得到的本征值谱一般是连续的，所
求的解可表为对连续本征值求积分的傅里叶积分．
因此，对于无限空间的定解问题，傅里叶变换是一种很
适用的求解方法．本节将通过几个例子说明运用傅里叶
变换求解无界空间（含一维半无界空间）的定界问题的
基本方法，并给出几个重要的解的公式．
下面的讨论我们假设待求解的函数
及其一阶导数是有限的 .
弦振动问题
求解无限长弦的自由振动定解问题
（假定：函数
及其一阶导数是有限的，以后不再特别指出．
这一定解问题在行波法中已经介绍，
读者可以比较行波解
法和傅氏解法）
【解】
应用傅里叶变换，即用
遍乘定解问题中的各式，
并对空间变量x积分（这里把时间变量看成参数），按照傅
里叶变换的定义，我们采用如下的傅氏变换对：
简化表示为
对其它函数也作傅氏变换，即为
于是原定解问题变换为下列常微分方程的定解问题
上述常微分方程的通解为
代入初始条件可以定出
这样