RS编译码原理.doc

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RS码字
RS码(Reed-solomon codes)一种低速率的前向纠错的信道编码，是一类具有强纠错能力的多进制BCH码，在线性分组码中，它的纠错能力和编码效率是最高的。相比于其他线性分组码而言，在同样的效率下，RS的纠错能力是特别强的，特别是在短的中等码长下，其性能接近于理论值，它不但可以纠正随机错误，突发错误及两者的结合，而且可以用来构造其他码型，如级联码。
其编码过程首先在多个点上对这些多项式求冗余，然后将其传输或者存储。对多项式的这种超出必要值的采样使得多项式超定（过限定）。当接收器正确的收到足够的点后，它就可以恢复原来的多项式，即使接收到的多项式上有很多点被噪声干扰失真。
RS编码
RS码是一类纠错能力很强的特殊的非二进制BCH码。对于任选正整数S可构造一个相应的码长为n=qS-1的q进制BCH码，而q作为某个素数的幂。当S=1，q>2时所建立的码长n=q-1的q进制BCH码，称它为RS码。当q=2m(m>1)，其码元符号取自于GF(2m)的二进制RS码可用来纠正突发差错，它是最常用的RS码。
一个RS码有以下几个参数：
码长：n=2^m-1个符号或者m(2m-1)比特
信息段：k个符号或者mk个比特
监督段：2t=n-k个符号2mt=m(n-k)个比特
最小码距：dmin=n-k+1个符号或者mdmin=m(n-k+1)
例如，对RS（204,188）码来说，源数据被分割为188个符号为一组，经过编码变换后，成为204个符号长度的码字。长度为16个符号的监督为可以纠正码字中出现的最多8个符号错误。
RS编码的框图如图所示：
RS编码器的结构
RS码的基本思想就是选择一个合适的生成多项式g(x)，并且使得对每个信息段计算得到的码字多项式都是g(x)的倍式，即使得码字多项式除以g(x)的余式为0。这样，如果接收到的码字多项式除以g(x)的余式不是0，则知道接收码字的余式存在错误；而且通过进一步可以纠正最多t=(n-k)/2个错误。
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RS码生成多项式一般按照如下公式选择，即
g(x)=(x-a)(x-a2)(x-a3)···(x-a2t-1)(x-a2t)
式中，ai是GF(2m)中的一个元素。如果用d(x)表示信息段多项式，则可以按照如下方法构造码字多项式c(x)。首先计算商式h(x)和余式r(x)，得
xn-k d(x)/ g(x)= h(x) g(x)+ r(x)
取余式r(x)作为校验字，然后令
c(x)=xn-kd(x)+r(x)
即将信息位放置于码字的前半部分，监督位码字放在后半部分，则
c(x)/g(x)= xn-k d(x)/ g(x)+r(x)/g(x)
=h(x)g(x)+r(x)+r(x)= h(x)g(x)
因此，码字多项式c(x)，必可以被生成多项式g(x)整除。如果在接收端检测不到余式为0，则可判断接收到的码字有错误。由于这种RS能纠正t个m进制的错误码字，所以，RS码特别适用于突发错误的信道
以RS（7,3）码为例介绍RS码的编码过程。RS（7,3）码利用3个信息符号得到长度为7的编码，码元符号取自GF（23）.即m=3。域GF（23）的本原多项式为a3+a+1，RS码的生成多项式为g(x)=x4+3x3+x2+