等比数列例题解析.doc

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等比数列•例题解析
【例1】
已知Sn是数列｛an｝的前n项和，sn=pn（p € R, n€ N*），那么
数列{an}.
A •是等比数列
B .当pz 0时是等比数列
C .当pz 0, pz 1时是等比数列
D .不是等比数列
【例2】 已知等比数列1,x「X2，…，X2n, 2,求• x? • X3 X2n.
1
【例3】 等比数列｛a n｝中，（1）已知a2 = 4 , a5 = ——，求通项公
2
式；（2）已知 a3 • a4 • a5 = 8，求 32838485^ 的值.
【例4】 已知a> 0, b>0且az b,在a, b之间插入n个正数，x?,…,
xn,使得 a, x1, x2,
…，xn, b成等比数列，求
证 n X1X2 …Xn V
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【例5】 设a、b、c、d成等比数列，求证：(b— c)2+ (c— a)2 + (d — b)2
=(a— d)2.
【例6】 求数列的通项公式:
⑴｛a n｝中，ai = 2，an+1 = 3an+ 2
(2)｛a n｝中，ai=2,电=5,且 an+2 — 3an+1 + 2an = 0 思路：转化为等比数列.
【例7】 若实数a1> a2、a3、a4都不为零，且满足(a： + a；)a； — 2a2 (a1 + a3)a4 + a； + a； = 0求证:a1> a2、a3成等比数列，且公比为 a4.
【例8】 若a、b、c成等差数列，且 a+1、b、c与a、b、c+ 2都成等
【例9】
比数列，求b的值.
已知等差数列｛an｝的公差和等比数列｛bn｝的公比都是d，又知d 工 1，且 a4=b4， al0=b[0：
⑴求ai与d的值； （2）片6是不是｛an｝中的项?
思路：运用通项公式列方程
1 21
【例10】 设｛a n｝是等差数列,bn = (_)an，已知b1 + b2 + b3 =—,
2 8
bbbs
1
8，求等差数列的通项.
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【例11】 三个数成等比数列，若第二个数加 4就成等差数列，再把这
个等差数列的第3项加32又成等比数列，求这三个数.
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【例12】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列， 并且第一个数与第四个数的和是 16,第二个数与第三个数的和是 12,求这四
个数.
分析本题有三种设未知数的方法
【例13】已知三个数成等差数列，其和为126;另外三个数成等比数列, 把两个数列的对应项依次相加，分别得到 85, 76, .
【例14】 已知在数列｛an｝中，a?、ag成等差数列，a?、ag、aq成
等比数列，玄3、aq、的倒数成等差数列，证明： a「ag、成等比数列.
【例 15】 已知(b — c)logmx+ (c— a)logmy+ (a — b)logmz=0.
(1)设a, b, c依次成等差数列，且公差不为零，求证： x, y, z成等比数列.
(2)设正数x, y, z依次成等比数列，且公比不为 1求证：a, b, c成等
差数列.
答案
【例1】
分析 由Sn= pn(n € N*)，有a〔=S[ = p,并且当n》2时，
an=Sn— Sn-1= pn-pn-1 = (p- l)pn-1
,L
pH 0
故a2 = (p- 1)p，因此数列｛an｝成等比数列二 p-1 h0
n 1
(p-1)p _p(p-1)
(p-2刖 一 p
但满足此条件的实数 p是不存在的，故本题应选 D.
说明 数列｛a n｝成等比数列的必要条件是 anH 0(n € N*)，还要注
意对任n € N* , n》2, 丑都为同一常数是其定义规定的准确含义. a n 二
【例2】解•/ 1, X[ , X2，…，X2n, 2成等比数列，公比q
••• 2 = 1 • q2 n+1
X1X2X3 …x2n = q
q2 ・ q3…q2n=q1+2+3+…+2n
2n( 1+2 n)
二 qn(2n — 2n
1
【例3】 等比数列｛a n｝中，(1)已知a2 = 4 , a5 =--，求通项公
式；(2)已知玄3 • aq • = 8，求 a2a3a4a5a6 的值.
解(1)a5 = a2