全概率公式与贝叶斯公式.ppt

1第四节 2 全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率, P(A+B )=P(A )+P(B)A、B互不相容乘法公式 P( AB )= P(A ) P(B|A)P(A )>0 3 设nAAA,,, 21?为一个完备事件组,对任一事件 B ,有 BB??显然BABABA n,,, 21?也两两互不相容,, 21BABABA n????? BAAA n)( 21?????Ω A 1A 2A 3A 4A 6A 7A 5A 8B 4 由概率的可加性及乘法公式, 有) ()( 21BABABAPBP n???????? ni iBAP 1)(.)|()( 1??? ni iiABPAP这个公式称为全概率公式,它是概率论的基本公式. 设nAAA,,, 21?为一个完备事件组,对任一事件 B ,有 BB??显然BABABA n,,, 21?也两两互不相容,, 21BABABA n????? BAAA n)( 21?????5??? ni iiABPAPBP 1)|()()(全概率公式利用全概率公式,可以把较复杂事件概率的计算问题,化为若干互不相容的较简单情形,分别求概率然后求和. 6 例1 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品, 已知三家工厂的市场占有率分别为 30 %、 20 %、 50 %, 且三家工厂的次品率分别为 3 %、 3 %、 1% , 试求市场上该品牌产品的次品率. 设A 1、A 2 、A 3分别表示买到一件甲、乙、丙的产品; B表示买到一件次品, .001 . . .???????,)(,)(,)( 3 2 1???APAPAP加权平均显然 A 1、A 2 、A 3 构成一个完备事件组, 由题意有??? 31)|()()( i iiABPAPBP ,01 .0)|(,03 .0)|(,03 .0)|( 3 2 1???ABPABPABP由全概率公式, 7 例2 袋中有 a 个白球 b 个黑球,不放回摸球两次,问第二次摸出白球的概率为多少? 解分别记 A,B为第一次、第二次摸到白球, 由全概率公式, )|()()|()()(ABPAPABPAPBP??ba a??.ba a??可以想见,第三次、第四次…摸出白球的概率仍为 ba a?, 1????ba aba b??1???ba a8 解例3 袋中有 a 个白球 b 个黑球,分别以 A,B 记第一次、第二次摸得白球, (1) 采用有放回摸球; (2) 采用无放回摸球,试分别判断 A,B的独立性. (1) 有放回摸球, , ba aAP??)(, 2 2)( )(ba a AB P??, 2)( )(ba ab BAP??)( )()|(AP AB PABP??)()()(BAP AB PBP?? a??,)()|(BPABP?由于所以 A,B相互独立. a?? 22 2)()(ba ab ba a????9 (2) 无放回摸球, , ba aAP??)()( )()|(AP AB PABP??)()()(BAP AB PBP??而,)()|(BPABP?由于所以 A,B不相互独立. ,)1 )(( )1()(?????baba aa AB P ,)1 )(( )(????baba ab BAP)1 )(()1 )(( )1(?????????baba ab baba aa .1 1????ba a,ba a??10 在上面例 1中,如买到一件次品,问它是甲厂生产的概率为多大?这就要用到贝叶斯公式. )( )()|(BP BAPBAP k k?,)|()( )|()( 1??? ni ii k kABPAP ABPAP),,2,1(nk??(贝叶斯公式) 设nAAA,,, 21?为一个完备事件组, 定理 0)(? iAP ,ni,,1??,对任一事件 B ,若0)(?BP ,有