全概率公式与贝叶斯公式.ppt

1 §: B=AB+ āB且 AB 与āB互不相容。 P(B)=P(AB+ āB) =P(AB)+P( ā B) =P(A)P(B|A)+P( ā )P(B| ā) = × + × = P AB P A B P B ( ) ( | ) ( ) ? P A P B A P A P B A P A P B A ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ?? 0 7 0 95 0 7 0 95 0 3 0 8 . . . . . . ??? ?? 0 735 .?例1 市场上供应的灯泡中,甲厂产品占 70%,乙厂占 30%,甲厂产品的合格率是 95%,乙厂的合格率是 80% 若用事件 A,ā分别表示甲、乙两厂的产品, B表示产品为合格品。求市场上买一个灯泡的合格率,及买到合格灯泡是甲厂生产的概率。 2 定理 1 ( 全概率公式)若事件 A 1,A 2,…构成一个完备事件组并且都具有正概率,则对任何一个事件 B,有 i i i P B P A P B A ??( ) ( ) ( | ) 证: A 1,A 2,…两两互斥,故 A 1 B,A 2 B,…两两互斥 B B ? ?且 ii B A ( ) ?? ii A B ?= 由加法法则 ii P B P A B ( ) ( ) ??再由乘法法则 i i i P A B P A P B A ( ) ( ) ( | ) ? i i i P B P A P B A ( ) ( ) ( | ) ??故 3 定理 2 ( 贝叶斯公式)若事件 A 1,A 2,…构成一个完备事件组, 且都具有正概率,则对任何一个概率不为零的事件 B,有 m m m i i i P A P B A P A |B P A P B A ??( ) ( | ) ( ) ( ) ( | ) m m P A B P A B P B = 证: ( ) ( | ) ( ) m m i i i P A P B A P A P B A ( ) ( | ) ( ) ( | ) ?=各原因下条件概率已知求事件发生概率求是某种原因造成得概率事件已发生全概率贝叶斯 4 例2 设5支枪中有 2支未经试射校正, 3支已校正。一射手用校正过的枪射击,中靶率为 ,用未校正过的枪射击,中靶率为 。(1) 该射手任取一支枪射击,中靶的概率是多少? (2) 若任取一支枪射击,结果未中靶,求该枪未校正的概率。解:设 A表示枪已校正, B表示射击中靶 3 P A 5 ( ) , ?则 2 P A 5 ( ) ? P B A 0 9 ( | ) . ? P B A 0 1 ( | ) . ? P B A 0 4 ( | ) . ? P B A 0 6 ( | ) . ? 1 P B P A P B A P A P B A ( ) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ? ? 3 2 0 9 0 4 5 5 . . ? ??? 0 7 .= P A P B A 2 P A B P A P B A P A P B A ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ?? 2 0 6 5 2 3 0 6 0 1 5 5 . . . ??? ?? 0 8 .? 5 例3 有三个同样的箱子, A箱中有 4个黑球 1个白球, B箱中有 3个黑球 3个白球, C箱中有 3个黑球 5个白球。现任取一箱,再从中任取一球,求(1) 此球是白球的概率(2) 若取出的是白球,求它取自 B箱的概率。解:用 A、B、C表示 A、B、C三个箱子取球用D表示取出的是白球。则A、B、C是完备事件组。 1 P A P B P C 3 ( ) ( ) ( ) ? ??且 1 1 5 P D A P D B P D C 5 2 8 ( | ) ( | ) ( | ) ? ?? 6 1 P D P A P D A P B P D B P