9(2)第二类曲线积分.ppt

1 curvilinear integral 第二节第二类曲线积分问题的提出第二类曲线积分的概念第二类曲线积分的计算第十章曲线积分与曲面积分第十章曲线积分与曲面积分小结思考题作业 2 变力沿曲线所作的功 BAL?: 常力沿直线所作的功 AB FW??实例?),(yxF ?jyxQiyxP ??),(),(?一、问题的提出对坐标的曲线积分 Ox yA B??L ds t ?( , ) , x y ds 在处任意取一小弧段作与 AB 方向一致的单位切向量 t ?则( , ) ( , ) dW F x y tds F x y ds ? ???? ?? ?从而( , ) ( , ) L L W F x y ds F x y tds ? ???? ?? ?? ? 3 定义 1 设L是一条有向光滑的平面曲线,起点是 A, 终点是 B,与, L t ?方向一致的单位切向量为( , ) F x y ??是一个连续的向量值函数, 则称积分( , ) L F x y ds ????为在有向曲线上的第二类曲线积分. F ??L即, ( , ) ( , ) L L F x y ds F x y tds ? ? ?? ?? ?? ?二、第二类曲线积分的概念 1. 定义对坐标的曲线积分注意: 被积表达式都定义在曲线上, 2. 性质(1) 线性性质设是两个连续的向量值函数, , F G ????设L是一条有向光滑的平面曲线,起点是 A, 终点是 B, 1 2 , k k是两个常数,则?? 1 2 1 2 L L L k F k G ds k F ds k G ds ? ?????? ???? ?????????(2) 对弧段的可加性设如前所述, , F L ?? 1 2 1 2 , , , L L L L L L ? ?与的方向一致则 1 2 L L L F ds F ds F ds ? ????? ???? ???????对坐标的曲线积分 5 (3) 设如前所述, , F L ??则 L L F ds F ds ?? ???? ??? ? ???, L L ?是与反向的曲线L? L Ox y第二类曲线积分与曲线的方向有关. 3. 存在条件在光滑曲线弧 L上第二类曲线积分存在. 连续时, ( , ) F x y ??当对坐标的曲线积分 6 4. 物理意义 W AB 所作的功沿⌒??? AByQxPdd ⌒jyxQiyxPF ???),(),(??变力 sFW AB??d???⌒对坐标的曲线积分 d {d , d } s x y ???( ) (d d ) AB Pi Qj xi yj ? ????? ??? 7 、第二类曲线积分的计算思想是因此下限应是起点的坐标, . 对坐标的曲线积分 8 设平面曲线 L的方程是( ) ( ) ( ) r t x t i y t j ? ?? ??, , t L A t L B ? ?? ?对应的起点对应的终点??( ) ( ), ( ) L T r t x t y t ?? ?? ??? ?与方向一致的切向量从而单位切向量?? 2 2 1 ( ), ( ) ( ) ( ) t x t y t x t y t ? ??? ???又 2 2 ( ) ( ) ds x t y t dt ? ?? ?再设( , ) ( ,