傅里叶变换的通俗解释.doc

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傅里叶变换的通俗解释
韩昊〔德国斯图加特大学通信与信息工程专业硕士生〕
提要：这篇文章的核心思想就是：要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。
傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。〔您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？〕所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定根底的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。
———以上是开场白，下面进入正题：
抱歉，还是要啰嗦一句：其实学****本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学****起来更加轻松，充满乐趣。无论如何，耐下心，读下去。这篇文章要比读课本要轻松、开心得多……
一、啥叫频域？
从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。
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先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子：
在你的理解中，一段音乐是什么呢？
这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。但我相信对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的：
好的！下课，同学们再见。
是的，其实这一段写到这里已经可以完毕了。上图是音乐在时域的样子，而如下图如此是音乐在频域的样子。所以频域这一概念对大家都从不陌生，只是从来没意识到而已。
现在我们可以回过头来重新看看一开始那句痴人说梦般的话：世界是永恒的。
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将以上两图简化：
时域：
频域：
在时域，我们观察到钢琴的琴弦一会上一会下的摆动，就如同一支股票的走势；而在频域，只有那一个永恒的音符。
所以，你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界，实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。
抱歉，这不是一句鸡汤文，而是黑板上确凿的公式：傅里叶同学告诉我们，任何周期函数，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的叠加。在第一个例子里我们可以理解为，利用对不同琴键不同力度，不同时间点的敲击，可以组合出任何一首乐曲。
而贯穿时域与频域的方法之一，就是传中说的傅里叶分析。傅里叶分析可分为傅里叶级数〔Fourier Serie〕和傅里叶变换(Fourier Transformation)，我们从简单的开始谈起。
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二、傅里叶级数(Fourier Series)
还是举个栗子〔举个例子〕并且有图有真相才好理解。
如果我说我能用前面说的正弦曲线波叠加出一个带 90 度角的矩形波来，你会相信吗？你不会，就像当年的我一样。但是看看如下图：
第一幅图是1个〔郁闷的〕正弦波 cos〔x〕；
第二幅图是 2 个〔卖萌的〕正弦波的叠加 cos (x) + (3x)；
第三幅图是 4 个〔发春的〕正弦波的叠加；
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第四幅图是 10 个〔便秘的〕正弦波的叠加；
随着正弦波数量逐渐的增长，他们最终会叠加成一个标准的矩形，大家从中体会到了什么道理？
随着叠加的递增，所有正弦波中上升的局部逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡，而所有正弦波中下降的局部又抵消了上升到最高处时继续上升的局部使其变为水平线。一个矩形就这么叠加而成了。但是要多少个正弦波叠加起来才能形成一个标准 90 度角的矩形波呢？不幸的告诉大家，答案是无穷多个。〔上帝：我能让你们猜着我？〕
不仅仅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波叠加起来的。这是没有接触过傅里叶分析的人在直觉上的第一个难点，但是一旦承受了这样的设定，游戏就开始有意思起来了。
还是上图的正弦波累加成矩形波，我们换一个角度来看看：
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在这几幅图中，最前面黑色的线就是所有正弦波叠加而成的总和