直线与圆、圆与圆位置关系知识点总结、经典例题解析、近年高考题与答案.doc

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直线与圆、圆与圆位置关系
【考纲说明】
1、能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系，能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系。
2、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。
【知识梳理】
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离，判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法
（1）代数法：把直线方程与圆的方程联立成方程组，消去x或y整理成一元二次方程后，计算判别式
直线与圆相交直线与圆有两交点
直线与圆相切直线与圆有一交点
直线与圆相离直线与圆无交点
（2）几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系：
直线与圆相交直线与圆有两交点
直线与圆相切直线与圆有一交点
直线与圆相离直线与圆无交点
2、圆的切线方程
若圆的方程为，点P在圆上，则过P点且与圆相切的切线方程为.
经过圆上一点P的切线方程为.
3、直线与圆相交
直线与圆相交时，若l为弦长，d为弦心距，r为半径，则有，即，求弦长或已知弦长求其他量的值时，一般用此公式。
二、圆与圆的位置关系
1、圆与圆的位置关系可分为五种：外离、外切、相交、内切、内含。
2、判断圆与圆的位置关系常用方法
（1）几何法：设两圆圆心分别为，半径为，则
圆与圆相离有4条公切线
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圆与圆外切有3条公切线
圆与圆相交有2条公切线
圆与圆内切有1条公切线
圆与圆内含有0条公切线.
（2）代数法：
方程组
有两组不同的实数解两圆相交；
有两组相同的实数解两圆相切；
无实数解两圆外离或内含。
【经典例题】
【例1】（2012广东文）在平面直角坐标系中,直线与圆相交于两点,则弦的长等于（　　）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】 圆心到直线的距离为,所以弦的长等于.
【例2】（2012重庆理）对任意的实数k, 直线与圆的位置关系一定是 （　　）
A．相离 B．相切
C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心
【答案】C
【解析】圆心到直线的距离为,且圆心不在该直线上.
法二:直线恒过定点,而该点在圆内,且圆心不在该直线上,故选C.
【例3】（2012 福建）直线与圆相交于两点，则弦AB的长度等于( )
A． B． C． D．1
【答案】B
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【解析】求弦长有两种方法，一、代数法：联立方程组，解得A、B两点的坐标为，所以弦长；二、几何法：根据直线和圆的方程易知，圆心到直线的距离为，又知圆的半径为2，所以弦长.
【例4】（2012安徽）若直线与圆有公共点，则实数取值范围是( )
A．] B． 　　　　C． D．
【答案】C
【解析】圆的圆心到直线的距离为，
则 .
【例5】（2012 山东）圆与圆的位置关系为( )
A．内切　　 　B．相交　　 　C．外切　　　 D．相离
【答案】B
【解析】两圆的圆心分别为，，半径分别为，两圆的圆心距离为，则，所以两圆相交，选B.
【例6】（2012 江西）过直线上点作圆的
两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点的坐标是__________．
【答案】
【解析】如图：由题意可知,　由切线性质可知,
在直角三角形中，．设点，
则，即，　
整理得，即,　所以，即点的坐标为．
法二：如图：由题意可知,由切线性质可知,在直角三角形中，，圆心到直线的距离为，所以垂直于直线， 由
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，解得，即点P的坐标为。
【例7】（2009四川）若⊙与⊙相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是 .
【答案】4
【解析】由题知，且，又，所以有.
【例8】（2011福建）已知直线：.
（I）若以点M（2,0）为圆心的圆与直线相切与点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；
（II）若直线关于x轴对称的直线为，问直线与抛物线C：是否相切？说明理由。
【答案】；当=1时，直线与抛物线C相切，当≠1时，直线与抛物线C不相切.
【解析】（I）由题意知(0, ),∵以点(2,0）为圆心