高考数学一轮复习51平面向量的概念及线性运算(师).doc

§　平面向量的概念及线性运算
考试如何考　、线性运算；，向量共线的应用．
1． 向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量
长度为零的向量；其方向是任意的
记作0
单位向量
长度等于1个单位的向量
非零向量a的单位向量为±
平行向量
方向相同或相反的非零向量
0与任一向量平行或共线
共线向量
方向相同或相反的非零向量叫做共线向量
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
2. 向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
(1)交换律：a＋b＝b＋a.
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝λμa；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3. 共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
概 念 辨 析
1．对共线向量的理解
(1)若向量a，b共线，则向量a，b的方向相同． (×)
(2)若a∥b，b∥c，则a∥c. (×)
(3)设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与2a－b共线，则λ＝－. (√)
(4)设a，b为向量，则“|a·b|＝|a|·|b|”是“a∥b”的充分必要条件． (√)
2．对向量线性运算的应用
(5)＋＋＝. (√)
(6)(教材****题改编)在△ABC中，D是BC的中点，则＝(＋)． (√)
[小结]
1．一个区别：两个向量共线与两条线段共线不同，前者的起点可以不同，而后者必须在同一直线上．同样，两个平行向
量与两条平行直线也是不同的，因为两个平行向量可以移到同一直线上．
2．两个防范：一是两个向量共线，则它们的方向相同或相反；如(1)；二是注重零向量的特殊性，如(2)。
[难点]
1． 向量的两要素
向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．
2． 一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．
3． 证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．
1． 若a＝“向东走8 km”，b＝“向北走8 km”，则|a＋b|＝_____；a＋b的方向是_____．
答案　8　东北方向
解析　根据向量加法的几何意义，|a＋b|表示以8 km为边长的正方形的对角线长，
∴|a＋b|＝8，a＋b的方向是东北方向．
2. 如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且＝a，＝b，则＝___________.
答案　b－a
解析　＝＋＋＝－a＋b＋a＝b－a.
3． 已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足＋＋＝0，＝λ，则实数λ的值为________．
答案　－2
解析　如图所示，由＝λ，且＋＋＝0，则P是以AB、AC为
邻边的平行四边形的第四个顶点，因此＝－2，则λ＝－2.
4． 已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2＋＋＝0，那么(　　)
A.＝ B.＝2 C.＝3 D．2＝
答案　A 解析　由2＋＋＝0可知，O是底边BC上的中线AD的中点，故＝.
5． 设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　)
A．a＝－b B．a∥b C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
答案　C 解析　表示与a同向的单位向量，表示与b同向的单位向量，只要a与b同向，就有＝，观察选项易知C满足题意．
题型一　平面向量的概念辨析
例1　给出下列命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.
其中正确命题的序号是___