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结构的动力计算
第1页，本讲稿共75页
§14-1 概述
一、结构动力计算的特点
（2）研究单自由度及多自由度的自由振动、强迫振动。
1、内容：
（1）研究动力荷载作用下，结构的内力、位移等计算原理和计算方法。求出它们本讲稿共75页
几个术语
（1）周期：振动一次所需的时间。
（2）工程频率：
单位时间内的振动次数（与周期互为倒数）。
（3）频率（圆频率）：
旋转向量的角速度，即体系在2秒内的振动次数。自由振动时的圆频率称为“自振频率”。
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4、微分方程中各常数由初始条件确定
代入：
将
时
得：
可得：
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进一步可确定式
中的c和

c
c2
c1
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频率定义：
频率：
周期：
自振频率是体系本身的固有属性，与体系的刚度、质量有关，与激发振动的外部因素无关。
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二、有阻尼的自由振动
1、振动方程及其解
则
特征方程
特征根
(二阶线性常系数齐次微分方程)
特征根
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特征根
（1）k＜ω，小阻尼情况
（一对共轭复根）
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y
’t
2
振幅：
P81 式14-12
混凝土结构
钢结构
按e-kt规律衰减，k称为衰减系数。
圆频率
阻尼比
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特征根
（2）k＞ω，大阻尼情况
（两个不等的负实根）
通解
结论：上式中不含简谐振动因子，阻尼使能量耗尽，
故不会产生振动。
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y
y
t
t
o
o
特征根
（3）k=ω，临界阻尼情况
（两个相同的实根）
结论：由振动过渡到非振动的临界状态。
通解
大阻尼情况下的振动曲线：
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§14-1 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动
则：
通解包括两部分：
m
动平衡方程：
(二阶常系数线性非齐次微分方程)
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1、求齐次解：
特征方程：
特征根：
2、求特解（待定系数法）：
设：
将上式代入原方程后，可确定D1、D2：
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进一步，可得：
特解的另一形式:
将各量代入后，可求出特解：
通解：
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利用 可确定C1、C2，于是：
P94(14-21)
① ②两式含有因子 , 很快衰减,
最后只剩按振包括动的纯强迫振动;
①取决于初始条件的自由振动
②取决于干扰力的伴生自由振动
③按荷载频率的纯强迫振动
① ② ③同时存在的阶段称为过渡阶段,
仅剩③的阶段称为平稳阶段, 后者更重要,只讨论平稳阶段
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1、不计阻尼的纯强迫振动 ( =0)
振幅A
k11 =1/ 11
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2. 考虑阻尼的纯受迫振动
同理可得, 动力系数:
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① / <<1，1，P(t) 可视为静荷载;
特点: 越大, 曲线越平缓, 特别是在/=1附近, 峰值下降最显著;
②/ 1(</ <)，
对影响很大，阻尼使 峰值下降;
/ =1时，共振:
0，；≠0， 有限。
③/ >>1时,  0，与阻尼无关，荷载变化很快，结构来不及反应,不动或只做微小颤动。
共振区
设计时应避免共振。由于阻尼，振幅不会无限大。
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受迫振动实验演示
共振视频：塔科玛大桥的震荡和坍塌
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P89例14-2 重量G=35kN的发电机置于简支梁的中点上，
，E=210GPa，发电机转动时其
，且F=10kN。若不考虑阻尼，试求
并知梁的惯性矩
离心力的垂直分量为
当发电机每分钟的转数为n=500r/min时，梁的最大弯矩和挠度（梁
的自重可略去不计）。
解：在发电机重量作用下，梁中点的最大静力位移为
自振频率:
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干扰力的频率:
动力系数:
梁中点的最大弯矩:
梁中点的最大挠度:
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