《数学分析》课件 第三章 极限与函数的连续性4.doc

§5 无穷小量与无穷大量的比较

,即:=0,=0.
考虑可能出现各种情形:
, ,=;
, =,=;
, ,
不存在是有界量,=,=,
是无界量,但非无穷大,=,=,
这时=
可见,有些无穷小量可以比较,但有些不能。
设=0,=0.
(1)若存在>0,>0及正整数,使得当时,有 0<≤≤,
则称与是同阶的无穷小量;
(2)若=1,则称与为等价的无穷小量,记为~;
(3)若=0,则称为较高阶的无穷小量,或称是较低阶的无穷
=o().
自然地,符号,就表示为无穷小量。
与是同阶无穷小量若存在>0,>0及正整数,使得当时,
有 0<≤≤,
则当充分大后,其绝对值互相被一常数倍限制着,
即≤,≤,
它们趋向于0的速度可以用常数倍来度量
是比高阶的无穷小量=o()=0
或其中
,,当时,
这表明趋于0的速度比快得多。
与为等价无穷小量~ =1
,其中
,
这表明:1、充分大时,于几乎相等。
2、两个等价无穷小量之差是比其自身更高阶的无穷小量
还要引进一个记号:
= 如果是有界的,即≤
如果
几个常用结论:
1、若= 与是同阶的=且
因为由极限的性质知=>0
则存在,当时,有或
由得=
由得
2、= =
==0 ≤=
3、
例 1、只要证是有界量
2、只要证是无穷小量
注意:上面的等式不可以反过来写!
如果选定作为无穷小量的标准,若满足
=,
其中是某个正常数,则称是阶无穷小量,这时=+
是较高阶的无穷小量,我们把称为的主部。
例-=是阶的无穷小量,由于
故其主部是.
类似的概念也可转移到连续变量的函数极限.
=0,=0,
当时与是同阶的无穷小量若存在>0,>0以及,
当时,有
≤≤
当时与是等价的无穷小量=1,
~()
当时是较高阶的无穷小量=0
=)().
若存在,使得在有界
=) ().
例判别下列等式是否正确
(), (),
(), ()
解(),(),
()
而,故()是不正确的。

二、几个常用的等价无穷小关系
利用两个重要极限和函数的连续性,我们立即可以得到在自变量的趋向下,几个常用的等价无穷小关系
()
()
()
()
()
()
()
()

意义:1、用直线代替曲线,以简单代替复杂。
(在附近,可以用直线代替曲线)
(在附近,可以用直线代替曲线)
2、作无穷小等价代换,使许多复杂的极限都变得简单。
例1
注1 在求极限过程中我们直接用代换了,用代换了,是因为
例2
问题1 下面的解法对吗?
因为当时,,所以
问题2 (),两者都是的一阶无穷小。
但它