巧用圆锥曲线的焦半径.doc

巧用圆锥曲线的焦半径
圆锥曲线的焦半径为：二次曲线上任意一点Q到焦点的间隔 ．
圆锥曲线的焦半径概念,是圆锥曲线中的一个重要的概念．许多圆锥曲线的求解问题，往往都牵涉到它，且运用圆锥曲线的焦半径分析问题可给解题带来活力．因此，掌握它是非设双曲线Q的方程为 ，
假设存在适宜题意的常数λ（λ> 0)，
考虑特殊情形的λ值．当PA⊥x轴时，点P的横坐标为2c，
从而点P的纵坐标为y = 3c，而 |AF1｜ = 3c,
∴ △PAF1是等腰直角三角形,即 ∠PAF1 = , ∠PF1A =， 从而可得 λ= 2．
PA不和x轴垂直时，那么要证∠PAF1 = 2∠PF1A成立即可．
由于点P(x1, y1）在第一象限内,故PF1 ， PA的斜率均存在,从而，有
, ，且有 ，………… ※
又∵，
将※代入得, 由此可得 tan2∠PF1A = tan∠PA F1，
∵ P在第一象限，A（2c， 0)， ∴ ，
又∵ ∠PF1A为锐角，于是，由正切函数的单调性得 2∠PF1A =∠PA F1．
综合上述得，当λ= 2时，双曲线在第一象限内所有点均有∠PAF1 = 2∠PF1A成立．
解法2 由题意得 双曲线的离心率e = 2, 且双曲线的实半轴长为c , 半焦距为2c，
故 设双曲线Q的方程为 ，
由于点P(x1, y1)在第一象限内，故PF1 ， PA的斜率均存在．且∠PF1A为锐角．
又∵ , …………………………………………………… ※
设∠PF1A =β，那么
设∠PAF1=λβ, λβ≠90o时, 那么 tan(λβ），
而 tan(λβ-β)
．
∴ tan（λβ-β) = tanβ．
∵ ∠PF1A =β为锐角,又 ∠P A F1 =λβ∈， ∴ tan（λβ—β) = tanβ 〉 0, 故λβ-β是锐角，
由正切函数的单调性得 λ= 2．
显然，当λβ= 90o时亦成立．
故存在λ= 2，使得双曲线在第一象限内所有点均有2∠PF1A =∠PA F1成立．
解法3 由上述①，得λ= 2,设P ′是射线PA上的一点， 其横坐标为x0 ( x0 〉 c)，
在x轴上取一点N (2 x0 +c ， 0)，使△P′F1N为等腰三角形，
∴∠P ′F1N =∠P ′NF1．故当∠P ′AF1 = 2∠P ′F1A时，有∠P ′AF1 = 2∠P ′NA，
从而∠AP ′N =∠P ′NA， 那么 ｜AN| = |AP ′|，
又 A（2c ,0），于是 |AN| = ｜AP ′｜ = 2x0-c． 过P ′作P ′H垂直于准线l 于H，如图9-5．
那么 |P ′H｜ = x0—． 故 = 2 = e．
故 点P ′是双曲线上的点，且和P重合．
由x0 〉 c的任意性得，当λ= 2时，双曲线在第一象限内所有点均有2∠PF1A =∠PAF1成立．
解法4 由题意得，设点P（x1 ， y1）,
∵ 点P是双曲线在第一象限内的点，又A（2c， 0)是一焦点,
∴ ｜AP｜ = 2x1— c，｜AF1｜ = 3c，设AD为∠F1AP的平分线， ……… ※
由角平分线性质及定比分点公式，得 ，
P
F1
F2
y
x
O
N
D
A