三角函数·函数地周期性.doc

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三角函数·函数的周期性
 
教学目标
1．使学生理解函数周期性的概念，并运用它来判断一些简单、常见的三角函数的周期性．
2．使学生掌握简单三角函数的周期的求法．
3．培养学生根据证？能否逐一证明比2π小的正数都不行呢？当然不行．因为比2π小的正数是无限的．那这样的命题应如何证？
生：反证法．假设存在T∈〔0，2π〕使得y=sinx对于任意的x∈R都成立．推出矛盾即可．
师：你能具体的给予证明吗？
生：假设T是y=sinx，x∈R的最小正周期，且0＜T＜2π，那么根据周期函数的定义，当x为任意值时都有
sin〔x+T〕=sinx．
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即
cosT=1．
这与T∈〔0，2π〕时，cosT＜1矛盾．这个矛盾证明了y=sinx，x∈R的最小正周期是2π．
师：请同学们在课堂练****本上证明y=cosx的最小正周期是2π．
师：通过上面的例题和练****我们得出这样的结论，正弦函数y=sinx〔x∈R〕和余弦函数y=cosx〔x∈R〕都是周期函数，2πk〔k∈Z且k≠0〕都是它的周期，最小正周期是2π．
例5  求y=3cosx的周期．
师：以后求周期如果没有特殊要求，都求的是最小正周期
生：因为y=cosx的周期是2π，所以y=3cosx的周期也是2π．
师：好．好在他能利用我们总结出的结论，也就是新知识归结到旧知识上去．你能再具体的证明吗？
生：可以从数和形两个角度来证明．
解〔一〕  因为对一切x∈R，3cos〔x+2π〕=3cosx，所以y=3cosx的周期是2π．
解〔二〕  因为y=3cosx图象是把y=cosx图象上的每点的横坐标不变，纵坐标扩大3倍得到的，当自变量x〔x∈R〕增加到x+2π且必须增加到x+2π时，函数cosx的值才重复出现，因而函数3cosx的值也才重复出现，因此y=3cosx的周期是2π．
师：数和形是我们研究数学问题的两个方面，他都想到了，并且能完整的表示清楚，假如把此题推广，能得到什么结论？
生：y=Asinx，y=Acosx〔A≠0，是常数〕的周期都是2π，也就是说函数周期的变化与系数A无关．
例6  求y=sin2x的周期．
〔请不同解法的三位同学在黑板上板演〕
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生甲：
解  因为y=sin〔2x＋2π〕=sin2x，对于任意x∈R都成立．所以y=sin2x的周期是2π．
生乙：
解  因为y＝sin〔2x＋2π〕＝sin2〔x＋π〕＝sin2x，所以y＝sin2x的周期是π．
生丁：
解  设2x＝u，因为y＝sinu的周期是2π，所以
y＝sin〔u＋2π〕=sinu，
即
sin〔2x+2π〕＝sin2〔x+π〕＝sin2x，
所以y=sin2x的周期是π．
师：我们一起来分析三个同学的解法．解法一是错误的，错误在对于周期函数定义中任意x都有f〔x＋T〕=f〔x〕的本质没弄清楚，要证明y=sin2x是周期函数，应证明对于任意x∈R，都有y=sin2x=sin2〔x+T〕，而不是y=sin2x=sin〔2x+T〕．解法〔二〕，〔三〕是正确的．区别在于解法〔三〕经过换元，把要研究的新问题y＝sin2x的周