数学建模案例分析--线性代数在数学建模中的应用举例.doc

线性代数在数学建模中的应用举例
基因间“距离”的表示
在 ABO 血型的人们中，对各种群体的基因的频率进行了研究。如果我们把
四种等位基因 A 1，A 2，B，O 区别开，有人报道了如下的相对频率，见
c2 c3
a32
b32
c32
根据向量的数量积的坐标表示，有
2 2 2
OA OA a1 b1 c1 ,
OA OC a1a3 b1b3

OA OB a1a2 c1c3 , OB OB c2c3, OC OC

b1b2 c1c2 ,
a22 b22 c22
a32 b32 c32.
于是
OA OA
OA OB
OA OC
36V 2
OA OB
OB
OB
OB
OC .
（）
OA OC
OB
OC
OC
OC
由余弦定理，可行
OA OB p q cos
p2
q 2
n2
.
2
同理
OA OC
p2
r 2
m2 , OB OC
q2
r 2
l 2 .
2
2
将以上各式代入（ ）式，得
p2
p2
q2
n2
p 2
r 2
m2
2
2
36V 2
p2
q 2
n2
p2
p2
r 2
l 2
.
（）
2
2
p2
r 2
m2
p2
r 2
l 2
r 2
2
2
这就是 Euler 的四面体体积公式 .
例
一块形状为四面体的花岗岩巨石，量得六条棱长分别为
l=10m,
m=15m,
n=12m,
p=14m,
q=13m,
r =11m.
则
p2 q2 n2 ,
p2 r 2
m2
46,
p2 r 2 l 2
95.
2
2
2
代入（ ）式，得
196

46
36V 2

169
95
1369829 .75.
46
95
121
于是
V 2 (195m3 )2 .
即花岗岩巨石的体积约为 195m3.
古埃及的金字塔形状为四面体， 因而可通过测量其六条棱长去计算金字塔的
体积 .
动物数量的按年龄段预测问题
问题 某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为 15 岁，将其分成三个
年龄组：第一组， 0～ 5 岁；第二组， 6～ 10 岁；第三组， 11～ 15 岁 .动物从第二
年龄组起开始繁殖后代，经过长期统计，第二组和第三组的繁殖率分别为
4
和

1
和
2
1
4 .假设农场现有三个年龄段的动物各
100 头，问 15 年后农场三个年龄段的动物
各有多少头？
问题分析与建模
因年龄分组为
5 岁一段，故将时间周期也取为 5 年
后就经过了 3 个时间周期 .设 i( k) 表示第
k
个时间周期的第
i
组年龄阶段动物的数
x
量（ k=1，2，3；i=1，2，3）.
因为某一时间周期第二年龄组和第三年龄组动物的数量是由上一时间周期
上一年龄组存活下来动物的数量，所以有
x2(k )1 x1( k 1) , x3(k)
1 x2(k 1)
(k 1,2,3).
2
4
又因为某一时间周期， 第一年龄组动物的数量是由于一时间周期各年龄组出
生的动物的数量，所以有
x1( k ) 4x2(k 1) 3x3(k 1) ( k 1,2,3).
于是我们得到递推关系式：
用矩阵表示
x1(k)
x2(k)
x3(k)

x1(k )
4x2(k 1)
3x3k 1,
x2k
1
x1( k 1) ,