结构的动力计算.ppt

结构的动力计算
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【例12-22】图示框架，其横梁为无限刚性。设质量集中在楼层上，试计算其自振频率和主振型。
解：本例两层框架为两个自由度体系，用刚度法计算较为方便。
(1)求刚度系数kij
第第一主振型
第二主振型
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（推广）n个自由度体系的自由振动
1. 刚度法
(1)运动方程的建立
平衡方程为
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其中
式中，kij是结构的刚度系数，即使j方向产生单位位移（其他各点的位移保持为零）时所在点i所需施加之力。
即得自由振动微分方程组
其矩阵形式为
或简写为
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(2)运动方程的求解
设特解
(3)求自振频率
将 和 代入式 ，得
这是关于位移幅值的齐次线性代数方程，称为振型方程或特征方程。
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频率方程为
其展开形式为
（4）求主振型
令 表示与频率wi相应的第i个主振型向量，即
将wi和 代入振型方程，得
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令i=1,2,…,n，可得出n个振型方程，由此可求出n个主振型：
可求出
由振型方程可以惟一地确定主振型的形状，即 中各幅值的相对值，但不能惟一地确定它的幅值(因方程右端项干扰力为零)。
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（5）标准化主振型(规一化主振型)
一般常用以下两种作法：
1) 规定主振型 中的某个元素为某个给定值。通常规定第一个元素Y1i或最后一个元素Yni等于1，也可以规定最大的一个元素等于1。
2) 规定主振型 满足
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【例12-26】试求图示三层刚架的自振频率和主振型（横梁变形略去不计）。各层间侧移刚度（亦称抗剪刚度，为该层上下两端发生单位水平相对位移时该层各柱剪力之和）分别为k1、k2、k3，其单位为MN/m。
解：以各楼层的水平位移为几何坐标。
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（1）求自振频率wi
1) 建立刚度矩阵[K]
k11=k1+k2=441
k21=k12=-k2=-196
k31=k13=0
k22=k2+k3=294
k32=k23=-k3=-98
k33=k3=98
于是，得到刚度矩阵为
N/m
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2) 建立质量矩阵[M]
kg
3) 引入符号 ，并求自振频率
则
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频率方程为
其展开式为
解得上式的三个根为
于是得
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（2）求主振型
设取各标准化振型的第一个元素Y1i为1，确定Y(i)的方程为
可得
为求第一标准化振型，令i=1，并将 代入上式，利用其前两个方程，得
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设Y11=1，解出
Y21=2
Y31=3
将Y11、Y21、Y31三个元素汇总在一起，得第一振型为
依照以上作法，可得第二和第三标准化振型为
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第一主振型
第二主振型
第三主振型
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(推广到n个自由度)
(1)振型方程
刚度法导出的特征向量方程 为
用[d]左乘上式得
上式通除以w2，再令
可得柔度法的振型方程
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其展开式为
由此得到关于l的n次代数方程，可解出n个根l1，l2，…，ln，进而可求n个频率w1，w2，…，wn。将所有的频率从小到大排列，得频率谱。
(3)主振型
(2)频率方程
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【例12-27】试求图示刚架的自振频率和主振型。已知各杆EI＝常数。
解：本刚架具有三个自由度
(1)求柔度系数
图
图
图
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(2)求自振频率
体系的柔度矩阵和质量矩阵为
频率方程
并解得
故自振频率为
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(3)求主振型并绘振型图
将li (i =1,2,3 )分别代入振型方程
并令Y3i＝1，即可求得各阶各振型为:
1) 第一主振型
2) 第二主振型
3) 第三主振型