求函数极限的方法及技巧.doc

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例：求以下函数的极限
〔2〕

10、变量替换法〔适用于分子、分母的根指数不一样的极限类型〕特别地有：
m、n、k、l 为正整数。
例：求以下函数极限
① 、n ②
解: ①令 t= 则当 时 ,于是
原式=
②由于=
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令： 则
==
=
11、 利用函数极限的存在性定理
定理: 设在的某空心邻域内恒有 g(x)≤f(x)≤h(x) 且有:

则极限 存在, 且有

例: 求 (a>1,n>0)
解: 当 x≥1 时,存在唯一的正整数k,使
k ≤x≤k+1
于是当 n>0 时有:

及
又 当x时,k 有

及
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=0
12、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限，以及用定义求极限等情形)。
定理：函数极限存在且等于A的充分必要条件是左极限及右极限都存在且都等于A。即有：
==A
例：设= 求及
由

13、罗比塔法则〔适用于未定式极限〕
定理：假设
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此定理是对型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则。
注：运用罗比塔法则求极限应注意以下几点：
要注意条件，也就是说，在没有化为时不可求导。
应用罗比塔法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。
要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，假设遇到不是未定式，应立即停顿使用罗比塔法则，否则会引起错误。
4、当 不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用另外方法。
例： 求以下函数的极限
① ②
解：①令f(x)= , g(x)= l
,
由于
但
从而运用罗比塔法则两次后得到
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② 由 故此例属于型，由罗比塔法则有：
14、利用泰勒公式
对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便，以下为常用的展开式：
1、
2、
3、
4、
5、
6