高斯白噪声平稳过程过线性系统
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高斯白噪声的性质:设n(t)为高斯白噪声
1、自相关函数:
可见,n(t)只在 时才相关,它在任意两个时刻上的随机变量都是互不相关的
高斯白噪声平稳过程过线性系统
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高斯白噪声的性质:设n(t)为高斯白噪声
1、自相关函数:
可见,n(t)只在 时才相关,它在任意两个时刻上的随机变量都是互不相关的
2、数学期望:E[n(t)]=0
3、对高斯随机过程,不相关和独立等价
高斯白噪声
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理想白噪声的功率谱密度和自相关函数
高斯白噪声
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4、重要的结论:白噪声的平均功率等于噪声的方差(噪声均值为零)
噪声的方差
是个非常有用的结果,在通信理论分析中,常常通过求其自相关
函数或方差来计算噪声的功率。
高斯白噪声
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5、若φ(t)为确定信号,令
则X为高斯随机变量,且数学期望=0,方差
6、若 为确定信号,
则X1和X2均为期望为0的高斯随机过程
若
则X1和X2不相关且独立。
高斯白噪声
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平稳随机过程通过线性系统
设:
X(t)为平稳随机过程,线性系统的单位冲激响应为h(t), X(t)通过线性系统后的输出为Y(t)。
下面,我们研究一下Y(t)的特性:
X(t) Y(t)=X(t)*h(t)
h(t)
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Y(t)的均值(统计平均)
Y(t)的自相关函数
Y(t)的功率谱密度
X(t)和Y(t)的互相关函数与互功率谱密度
Y(t)的概率密度
平稳随机过程通过线性系统
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平稳随机过程通过线性系统
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Y(t)的均值(统计平均)
Y(t)的自相关函数
Y(t)的功率谱密度
X(t)和Y(t)的互相关函数与互功率谱密度
Y(t)的概率密度
平稳随机过程通过线性系统
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平稳随机过程通过线性系统
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Y(t)的均值(统计平均)
Y(t)的自相关函数
Y(t)的功率谱密度
X(t)和Y(t)的互相关函数与互功率谱密度
Y(t)的概率密度
平稳随机过程通过线性系统
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平稳随机过程通过线性系统
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由维纳-辛欣定理,对上式左右两端作付氏变换:
经过系统(传输函数是H(ω))后,X(t)的幅度和相位发生变化,这里我们只考虑功率,所以不必关心相位,,则其输出功率就是输入功率的四倍.
平稳随机过程通过线性系统
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Y(t)的均值(统计平均)
Y(t)的自相关函数
Y(t)的功率谱密度
X(t)和Y(t)的互相关函数与互功率谱密度
Y(t)的概率密度
平稳随机过程通过线性系统
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平稳随机过程通过线性系统
所以,X(t)和Y(t)的互相关函数为:
X(t)和Y(t)的互功率谱密度为:
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例:测量一个线性网络的单位冲激响应h()
将白噪声记为X(t),其功率谱密度为
则
平稳随机过程通过线性系统
h(t)
×
X(t)
Y(t)
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Y(t)的均值(统计平均)
Y(t)的自相关函数
Y(t)的功率谱密度
X(t)和Y(t)的互相关函数与互功率谱密度
Y(t)的概率密度
平稳随机过程通过线性系统
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几个结论:
1、若X(t)是正态随机过程,则Y(t)也是正态随机过程。
2、若X(t)的带宽远大于系统带宽,则Y(t)的概率密度趋于正态分布。
例如:白噪声通过一个带宽有限的带通系统,输出
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