Logistic映射混沌行为.docx

Logistic 映射的混沌行为摘要: Logistic 映射是非常重要的混沌系统, 我们编写了与之相关的计算程序, 利用程序的计算结果讨论了非线性系统走向混沌的两种道路,并通过 Logisti c 映射的动力学行为解释了混沌的本质。关键词: Logistic 映射; 混沌;李亚普诺夫指数引言本文将通过对 Logistic 映射的分析研究,揭示混沌产生的动力学机制,并揭示混沌现象中普遍成立的规律。 1838 年, Verhulst 建立了生物种群的繁衍模型[1]。即)1()1()1( 1nnnnnx ax xxrx??????(1) (1) 式被称为虫口模型, 也称为单参数的 Logistic 映射模型。线性项 ax 代表虫口数的平均增长率,而非线性项)0( 2??a ax 体现环境资源对种群繁衍的制约因素。通过设定初值0x 并研究数值序列 1 2 , , , , n x x x ? ?的变化规律, 我们就得到了种群繁衍的规律, 计算发现, Logistic 映射的渐进行为与 a 的取值密切相关。 1、 Logistic 映射动力学行为的复杂性如果1?a ,则种群个体总数迅速衰减,最终迭代结果 0 1??nx 。从生态意义上来讲, 虽然初始物种的数量保持一定的规模, 但由于受到外界环境的制约, 最终走向了物种灭亡的道路, 如图 1 所示。?a 时,虽然种群的起始数量较少,但经过数代的繁衍,种群数量逐渐庞大并趋于稳定, 如图 2 所示。而当 ?a 时,迭代出现震荡现象,但振荡起伏逐渐稳定最终导致物种总量达到平衡状态, 如图 3 所示。?a , ?a ,?a ,?a ,种群数量出现周期二行为当3?a 时, Logistic 映射开始出现周期振荡现象,当 ?a 时,迭代结果在两个值之间交替出现, 意味着物种繁衍出现了大小年情况, 此时, Logistic 映射进入周期二轨道, 如图 4 所示。当a 的值进一步增大时,迭代出现的振荡起伏会出现更为复杂的现象,当 52 .3?a 时, 迭代值每四次会出现重复现象, Logistic 映射进入周期四轨道, 如图 5 所示。图5 52 .3?a , 种群数量出现周期四行为图6 55 .3?a , 种群数量出现周期八行为当 55 .3?a 时, Logistic 映射进入周期八轨道。随着 a 值的增加, Logistic 映射还会出现更长的周期轨道。 Logistic 映射随着 a 的增加轨道周期加倍的现象称为倍周期分叉现象,如图6 所示。特别需要指出的是, 存在一个特殊的 a 值即569945672 .3??a ,当??aa 时, Logistic 映射进入混沌区域, 如图 7 所示。?a ,种群数量出现混沌现象 2、 Logistic 映射模型进入混沌状态的倍周期分叉机制 Logistic 映射模型从形式上来看是非常简单的,但由于非线性项的作用,其数值序列的渐进行为非常复杂,为了找出其非线性行为的规律性,我们首先下面研究 Logistic 映射的倍周期分叉图。图8 Logistic 映射的倍周期分叉图从图 8 可以看出, 随着 a 值的增加, 方程的动力学行为依次出现周期 2、周期 4、周