用多项式模型进行数据拟合实验报告(附代码).doc

实验题目: 用多项式模型进行数据拟合实验 1 实验目的本实验使用多项式模型对数据进行拟合,目的在于: (1) 掌握数据拟合的基本原理, 学会使用数学的方法来判定数据拟合的情况; (2) 掌握最小二乘法的基本原理及计算方法; (3 )熟悉使用 matlab 进行算法的实现。 2 实验步骤 算法原理所谓拟合是指寻找一条平滑的曲线,最不失真地去表现测量数据。反过来说,对测量的实验数据,要对其进行公式化处理,用计算方法构造函数来近似表达数据的函数关系。由于函数构造方法的不同,有许多的逼近方法, 工程中常用最小平方逼近(最小二乘法理论) 来实现曲线的拟合。最小二乘拟合利用已知的数据得出一条直线或曲线, 使之在坐标系上与已知数据之间的距离的平方和最小。模型主要有: 1. 直线型 2. 多项式型 3. 分数函数型 4. 指数函数型 5. 对数线性型 6. 高斯函数型等, 根据应用情况,选用不同的拟合模型。其中多项式型拟合模型应用比较广泛。给定一组测量数据?? iiyx, , 其中mi,,3,2,1,0??,共 m+1 个数据点, 取多项式 P(x), 使得 min )]([ 0 20 2??????? mi ii mi iyxpr ,则称函数 P(x )为拟合函数或最小二乘解,此时,令??? nk kknxaxp 0)( , 使得 min ])([ 0 200 2?????????????????? mi nk i kik mi iinyxayxpI , 其中 naaaa,,,, 210?为待求的未知数, n 为多项式的最高次幂,由此该问题化为求),,,( 210naaaaII??的极值问题。由多元函数求极值的必要条件:0)(2 00????????? mi ji nk i kikixyxaa I , 其中nj,,2,1,0??得到:???????? nk mi i jik mi kjiyxax 000)( , 其中nj,,2,1,0??, 这是一个关于 naaaa,,,, 210?的线性方程组,用矩阵表示如下所示: ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????mi i ni mi ii mi in mi ni mi ni mi ni mi ni mi i mi i mi ni mi iyx yx ya a axxx xxx xxm 0 0 01 00 20 10 0 10 20 001????????因此, 只要给出数据?? iiyx, , 数据点个数 m, 所要拟合的参数 n, 就可求出未知数据阵),,,,( 210naaaa? 实验步骤(1) 根据已知数据( ch3 ) ,绘制出数据的散点图,如图 1 所示: 注: x从1 开始取值,值与值间隔为 1。y 取文件 ch3 中的数据。图1 已知数据散点图(2) 计算矩阵????????????????????????????????????????mi ni mi ni mi ni mi ni mi i mi i mi ni mi ixxx xxx xxmA 0 20 10 0 10 20 001??????,该矩阵为(n+1 )*(n+1 )矩