用多项式模型进行数据拟合实验报告(附代码).doc

实验题目: 用多项式模型进行数据拟合实验
1 实验目的
本实验使用多项式模型对数据进行拟合,目的在于:
(1)掌握数据拟合的基本原理,学会使用数学的方法来判定数据拟合的情况;
(2)掌握最小二乘法的基本原理及计算方法;
(3)熟悉使用matlab进行算法的实现。
2 实验步骤
算法原理
所谓拟合是指寻找一条平滑的曲线,最不失真地去表现测量数据。反过来说,对测量
的实验数据,要对其进行公式化处理,用计算方法构造函数来近似表达数据的函数关系。由于函数构造方法的不同,有许多的逼近方法,工程中常用最小平方逼近(最小二乘法理论)来实现曲线的拟合。
最小二乘拟合利用已知的数据得出一条直线或曲线,使之在坐标系上与已知数据之间的距离的平方和最小。模型主要有:,根据应用情况,选用不同的拟合模型。其中多项式型拟合模型应用比较广泛。
给定一组测量数据,其中,共m+1个数据点,取多项式P(x),使得,则称函数P(x)为拟合函数或最小二乘解,此时,令
,使得,其中为待求的未知数,n为多项式的最高次幂,由此该问题化为求的极值问题。
由多元函数求极值的必要条件:,其中
得到:,其中,这是一个关于的线性方程组,用矩阵表示如下所示:
因此,只要给出数据,数据点个数m,所要拟合的参数n,就可求出未知数据阵
实验步骤
根据已知数据(ch3 ),绘制出数据的散点图,如图1所示:
注:x从1开始取值,值与值间隔为1。y取文件ch3 。
图1 已知数据散点图
计算矩阵,该矩阵为(n+1)*(n+1)矩阵。
计算矩阵。
写出正规方程,求出。
绘制出数据拟合后的曲线图。分别取n=6,n=8,n=10,n=11,n=12,n=13,n=14,曲线图如下所示:
图2 n=6时拟合曲线

图3 n=8时拟合曲线
图4 n=10时拟合曲线
图5 n=11时拟合曲线
图6 n=12时拟合曲线
图7 n=13时拟合曲线

3 实验结果分析
通过运用最小二乘法对多项式模型进行数据拟合处理,获得n次多项式及其系数。分别取多项式次数n=6,n=8,n=10,n=11,n=12,n=13,n=14绘制拟合曲线,观察曲线图可知,对于最高次数不同的多项式,拟合结果是不一样的,即对于数据的逼近程度是不相同的。随着n的增大,曲线拟合效果变好;当n=10时,达到最好拟合效果;n继续增大,曲线拟合效果又变差。因此,对于相同的数据,并不是多项式的次数n越高,拟合程度就越好。
4 实验结论
通过实际做实验,得出了如下结论:离散数据点,可以采用多项式模型进行拟合,通过最小二乘法可以求得其最优多项式。此外,还得出一个结论:对于数据拟合,并不是多项式次数越高,拟合就越逼近。对此现象,在数值分析的参考书中找到了原因,这是龙格现象,即对于一个等间距节点的高次插值多项式,不收敛于插值函数。
参考文献
[1] 陈光,任志良,孙海柱. 最小二乘曲线拟合及Matlab实现[J]. 软件技术, (3).
[2] [J]. 青海师范大学学报, 2010(3