第3节酉相似对角化.ppt

第3节酉相似对角化
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2、酉相似
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3、Schur 定理
（1）任意复方阵酉相似于一个上三角矩阵。即
第3页，共16页，编辑于202第3节酉相似对角化
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2、酉相似
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3、Schur 定理
（1）任意复方阵酉相似于一个上三角矩阵。即
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Schur 定理
（2）任意实方阵正交相似于一个上三角矩阵。即
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引理 正规上三角矩阵是对角矩阵
证明 设n阶矩阵A是正规上三角矩阵，则
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比较等式两边，可得
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定理 ，则A酉相似于一个对角矩阵的充分必要条件是A为正规矩阵，即
证明 必要性
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充分性
由schur定理知，A酉相似于一个上三角矩阵T，
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正规矩阵的性质：
1、正规矩阵有n个线性无关的特征向量；
2、正规矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的；
3、与正规矩阵酉相似的矩阵都是正规矩阵。
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解 显然A满足
求得对应的线性无关特征向量
例1 判断A是否为正规矩阵，如果是，将其酉对角化
即A是Hermite矩阵，从而是正规阵
由
得A的特征值
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即酉变换矩阵为
则
经过验证它们两两正交。
因此，只需将它们单位化得：
实际上，对于正规矩阵来说，属于不同特征值的特征向量相互正交。
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正定矩阵
如果对于任意非0的向量X，成立 f (X)=XHAX >0
则称二次型f (X)是正定二次型，称A为正定矩阵.
定理 设A是n阶Hermite矩阵，则下列命题等价
（1） A是正定矩阵。
（2） A与单位矩阵合同。
（3） A的n个特征值全是正数。
（4） A=QHQ，Q是可逆矩阵。
（5） A的顺序主子式都大于0。
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例 判断矩阵的正定性
提示：矩阵A为Hermite矩阵，只需求出其特征值，若特征值有三个，且全为正数，A是正定矩阵。
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推论：
设A是n阶正定的Hermite矩阵，则
（1） A-1也是正定矩阵。
（2） detA>0
（3） trA大于每个特征值
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定理
证明 设是AHA的特征值，x是相应的特征向量，则 AHAx= x
由于AHA为Hermite 矩阵，故是实数。又
同理可证AAH的特征值也是非负实数。
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证明 设x是方程组AHAx=0的非0解，
定理
则由
得
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