第七章‘ 常微分方程.ppt

微分方程在力学、物理学及工程技术等领域中为了对客观事物运动的规律性进行研究, 往往需要寻求变量间的函数关系,但根据问题的性质,常常只能得到待求函数的导数或微分的关系式,这种关系式在数学上称之为微分方程。微分方程又分为常微分方程和偏微分方程,本章讨论的是前者。常微分方程是现代数学的一个重要分支,内容十分丰富,作为一种有效的工具在电子科学、自动控制、人口理论、生物数学、工程技术以及其它自然科学和社会科学领域中有着十分广泛的应用。由于学时有限,高等数学中的常微分方程仅包含几种特殊类型的一阶微分方程的求解,可通过降阶求解的高阶微分方程,二阶常系数齐次和非齐次线性微分方程及其解的结构和特殊情况下的求解方法。本章先从解决这类实际问题入手,引出微分方程的一些基本概念,然后着重讨论一些特殊类型的微分方程的求解方法。微分方程的基本概念第一节微分方程的基本概念引例几何问题物理问题引例 (1,2) , 在该曲线上任意点处的解:设所求曲线方程为 y = y(x ) , 则有如下关系式:xx y2d d?①??xxyd2Cx?? 2 (C为任意常数) 由②得C = 1,.1 2??xy 因此所求曲线方程为(1) 2 y?②由①得切线斜率为 2x , 、问题的提出引例 2. 列车在平直路上以 sm20 的速度行驶, 制动时获得加速度, 2??a 求制动后列车的运动规律. 解: 设列车在制动后 t秒行驶了 s米, d 2 2??t s,0 0??ts 20 0d d??tt s 由前一式两次积分, 可得 21 ????利用后两式可得 0,20 21??CC 因此所求运动规律为 tts20 2???即求 s = s (t ) . 二、微分方程的定义微分方程::,xyy??,32 xeyyy??????,0)( 2???xdx dtxt 实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式. 分类 1:常微分方程, 偏微分方程. 微分方程的阶: 2: 一阶微分方程,0),,(??yyxF );,(yxfy??高(n)阶微分方程,0),,,,( )(?? nyyyxF?).,,,,( )1()(??? nnyyyxfy?例:,xyy??,32 xeyyy??????一阶微分方程二阶微分方程三、主要问题----- 求微分方程的解微分方程的解:,)( 阶导数上有在区间设nIxy??( ) ( , ( ), ( ), , ( )) 0. n F x x x x ? ? ????,0),,,,( )(?? nyyyxF?的解. 若( ) y x ??是微分方程则称代入微分方程能使方程成为恒等式的函数. , y x ??例 21;2 y x C ? ?通解 0,y ??? 1 2 ; y C x C ? ?通解(2) 特解:确定了通解中全部任意常数以后的解. 解的图象:微分方程的积分曲线. 通解的图象:积分曲线族. 初始条件:用来确定任意常数的条件. 微分方程的解的分类: (1) 通解:解中含有任意常数,与微分方程的阶数相同. 且任意常数的个数初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.??????? 0 0),(yy yxfy xx 一阶:过定点的积分曲线; 二阶:????????????? 00 00, ),,(yyyy yyxfy xxxx过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.