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物质波不确定关系
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一. 物质波 实物粒子的波粒二象性
光的干涉、衍射等现象证实了光的波动性；热辐射、光电效应和康普顿效应等现象又证实了光的粒子性。光具有波-m V
例
按经典力学计算，氢原子中电子的轨道速度 V ~106 ms-1 。
物理量与其不确定度一样数量级，物理量没有意义了！
在微观领域内，粒子的轨道概念不适用！
§12—3 波函数 薛定谔方程及简单应用
你知道吗？
1. 物质波波函数的统计意义?
2. 一维定态薛定谔方程的物理意义?
对于微观粒子，牛顿方程已不适用。
一 一维自由粒子波函数
一个沿 x 轴正向传播的频率为 的平面简谐波:
用指数形式表示：
波的强度
取复数实部
微观粒子的运动状态 描述微观粒子运动基本方程
波函数 薛定谔方程
对于动量为P 、能量为 E 的一维自由微观粒子，根据德布罗意假设，其物质波的波函数相当于单色平面波，类比可写成：
量子力学中一维自由粒子波函数的一般形式
这里的和 一般都为复数。
波函数的统计意义
亮波强电子到达多
暗波弱电子到达少
电子双缝衍射
波的强度---------振幅的平方
dV=dx dy dz
单位体积内粒子出现的概率
玻恩（M..Born)的波函数统计解释:
出现在 dV 内概率：
概率密度：
波函数本身无直观物理意义，只有模的平方反映粒子出现的概率，在这一点上不同于机械波，电磁波。
t 时刻粒子出现在空间某点 r 附近体积元 dV 中的概率，与波函数平方及 dV 成正比。
二. 波函数的标准化条件和归一化条件
1、单值： 在一个地方出现只有一种可能性；
2、连续：概率不会在某处发生突变；
3、有限
4、粒子在整个空间出现的总概率等于 1
即：
波函数归一化条件
波函数统计诠释涉及对世界本质的认识争论至今未息
哥本哈根学派
爱因斯坦
波函数满足的条件：单值、有限、连续、归一
三. 薛定谔方程 (1926年)
描述微观粒子在外力场中运动的微分方程 。
质量 m 的粒子在外力场中运动，势能函数 V ( r , t ) ，薛定谔方程为
粒子在稳定力场中运动，势能函数 V ( r ) 、能量 E 不随时间变化，粒子处于定态，定态波函数写为
由上两式得
定态薛定谔方程
粒子能量
(1)求解 E （粒子能量）
 ( r ) （定态波函数）
(2)势能函数 V 不随时间变化。
一维定态薛定谔方程（粒子在一维空间运动)
描述外力场的势能函数
说明

若质量为m的粒子，在保守力场的作用下，被限制在一定的范围内运动，其势函数称为势阱。
为了简化计算，提出理想模型——无限深势阱。
一维无限深势阱：
a


保守力与势能之间的关系：
在势阱边界处，粒子要受到无限大、指向阱内的力，表明粒子不能越出势阱,即粒子在势阱外的概率为0。
势阱内的一维定态薛定谔方程为：
解为：
由边界条件得：
据归一化条件，得
得波函数表达式：
(1)粒子能量不能取连续值
得
能量取分立值（能级），能量量子化是粒子处于束缚态的所具有的性质。
由
讨 论：
（2）粒子的最小能量不等于零
最小能量
也称为基态能或零点能。
零点能的存在与不确定度关系协调一致。
(3)粒子在势阱内出现概率密度分布
不受外力的粒子在0到 a 范围内
出现概率处处相等。
量子论观点：
0
a
=1
=2
=3
=4
n
n
n
n
0
a
当 很大时， 量子概率分布就接近经典分布
经典观点：
（4）有限深势阱，粒子出现的概率分布
如果势阱不是无限深，粒子的能量又低于势璧，粒子在阱外不远处出现的概率不为零。
0
a
经典理论无法解释，实验得到证实。
得到两相邻能级的能量差
例 设想一电子在无限深势阱，如果势阱宽度分别
×10-2m和10-10m 。试讨论这两中情况下
相邻能级的能量差。
解： 根据势阱中的能量公式
当a=1cm时
可见两相邻能级间的距离随着量子数的增加而增加，而且与