《线性代数与空间解析几何》行列式.ppt

1 第二节 n n阶行列式的定义阶行列式的定义主要内容主要内容 1. 问题的提出 2. 二阶、三阶行列式定义的规律 3. 排列的逆序数 4. n阶行列式的定义 5. n阶行列式的计算 6. 思考与解答 1、排列的逆序数 4、上(下)三角行列式的求法内容回顾 2、逆序数的计算 3、n阶行列式的定义)( 21nqqq??) ( 1?? ni iq 个数后边的比它小的数字的?)( 21nqqq?? nn nn n naaa aaa aaa?????? 21 2 22 21 1 12 11 n n n np pp ppp pppaaa??? 21 21 2121 )()1(????nppp ppp ppp n n naaa???21 )( 21 21 21)1(???? 3第一章行列式 3 第三节行列式的性质及计算行列式的性质及计算主要内容主要内容 1. 行列式的性质 2. 行列式的计算 4第一章行列式一、行列式的性质【性质 】行列式与它的转置行列式相等. ?行列式性质: 行列式性质: DD T?即: ?意义意义: :行列式中的行与列具有同等的地位; ?行列式的性质凡是对“行”成立的,对“列”也同样成立。 2 1 1 0 1 1 3 2 1 ???=1 1 2?1 1 0?1 2 3? 5第一章行列式【性质 】互换行列式的两行(列),行列式变号. 例如: 123 110 112???2?????213 110 1122?证明: 设行列式 D 1 =det( b ij)是由行列式 D =det( a ij) ; 时, 即当 kp kpabjik??,jik,?当., ip jp jp ipabab??(不妨设 i < j ),于是 nji n nji np jp ip p ppp ppppbbbb D??????? 1 21 11 )(1)1(???? nji n nji np ip jp p ppp ppppaaaa??????? 1 21 11 )()1(????交换 i, j 两行得到的,(代替) ; 时, 当 kp kpabjik??,?jik,?当., ip jp jp ipabab?? nn nn jn jj in ii n nn nn in ii jn jj n nn nn jn jj in ii nbbb bbb bbb bbbaaa aaa aaa aaaDaaa aaa aaa aaaD???????????????????????????????????????21 21 21 1 12 11 21 21 21 1 12 11 1 21 21 21 1 12 11,??? 6第一章行列式【性质 】互换行列式的两行(列),行列式变号. 证明: nji n nji np jp ip p ppp ppppbbbb D??????? 1 21 11 )(1)1(???? nij n nji np jp ip p ppp ppppaaaa??????? 1 21 11 )()1(????Daaaa nij n nij np jp ip p ppp pppp????????????? 1 21 11 )()1( ? nji n nji np ip jp p ppp ppppaaaa??????? 1 21 11 )()1(????)( ,奇偶性相反与对换 jipp 交换一下位置与 ji ip jpaa (代替) ; 时, 当 kp kpabjik??,?jik,?当., ip jp jp ipabab?? 7第一章行列式【推论】如果行列式有两行(列)完全相同(对应元素相同),则此行列式为零. 证明互换相同的两行,??D ,DD??为什么?? 0111 432 111= 例如: 8第一章行列式例如 123 110 112???2?????816 24 110 11216 28??证明思想: 推论: (1) 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. (2) 若行列式中有两行(列)成比例,则此行列式等于零. (3) 若行列式中某一行(列)的元素全为零, 则此行列式等于零. 【性质 】行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一常数,等于用数乘此行列式. kk×8从定义出发证,过程略。很简单哟! 9第一章行列式 nn nn in in iiii naaa aaaaaa aaa??????????? 21 2211 1 12 11???????? nn nn in ii naaa aaa aaa??????????? 21 21 1 12 11 nn nn in ii naaa aaa aaa??????????? 21 21 1 12 11???【性质