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隔板法”解决排列组合问题
“隔板法”解决排列组合问题（高二、高三）
排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借

隔板法”解决排列组合问题
“隔板法”解决排列组合问题（高二、高三）
排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。
例1、（1）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种？
（2）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问不同放法有多少种？
（3）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种？
解：（1）将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若把“1”，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有3
11C =165种。
（2）法1：（分类）①装入一个盒子有144C =种；②装入两个盒子，即12个相同的小球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有2141166C C =种;③装入三个盒子，即12个相同的小球装入三个不同的盒子，每盒至少装一个有32411C C =220种;④装入四个盒子，即12个相同的小球装入四个不同的盒子，每盒至少装一个有311165C =种;由加法原理得共有4+66+220+165=455种。 法2：先给每个小盒装入一个球，题目中给定的12个小球任意装，即16个小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个的装法有3


15455C =种。
（3）法1：先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩2个小球，则这两个小球可以装在1个盒子或两个盒子，共有124410C C +=种。
法2：先给每个盒子装上比编号小1的小球，还剩6个小球，则转化为将6个相同的小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个，由隔板法有3510C =
由上面的例题可以看出法2要比法1简单，即此类问题都可以转化为至少分一个的问题。
例2、（1）方程123410x x x x +++=的正整数解有多少组？
(2) 方程123410x x x x +++=的非负整数解有多少组？
（3）方程1231023x x x x ++++=L 的非负整数整数解有多少组？
“隔板法”解决排列组合问题（高二、高三）
排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起