时域有限差分法(FDTD算法)的基本原理及仿真.doc

时域有限差分法( FDTD 算法) 时域有限差分法是 1966 年 发表在 AP 上的一篇论文建立起来的,后被称为 Yee 网格空间离散方式。这种方法通过将 Maxwell 旋度方程转化为有限差分式而直接在时域求解,通过建立时间离散的递进序列,在相互交织的网格空间中交替计算电场和磁场。 FDTD 算法的基本思想是把带时间变量的 Maxwell 旋度方程转化为差分形式,模拟出电子脉冲和理想导体作用的时域响应。需要考虑的三点是差分格式、解的稳定性、吸收边界条件。有限差分通常采用的步骤是:采用一定的网格划分方式离散化场域;对场内的偏微分方程及各种边界条件进行差分离散化处理,建立差分格式,得到差分方程组;结合选定的代数方程组的解法,编制程序,求边值问题的数值解。 1. FDTD 的基本原理 FDTD 方法由 Maxwell 旋度方程的微分形式出发, 利用二阶精度的中心差分近似,直接将微分运算转换为差分运算,这样达到了在一定体积内和一段时间上对连续电磁场数据的抽样压缩。 Maxwell 方程的旋度方程组为: E EH????????t H HE mt ?????????(1) 在直角坐标系中,( 1)式可化为如下六个标量方程: ?????????????????????????????????????? z z x y y yz x x x yzEt Ey Hx H Et Ex Hz H Et Ez Hy H??????,????????????????????????????????????????? zm z x y ym yz x xm x yzHt Hy Ex E Ht Hx Ez E Ht Hz Ey E??????(2) 上面的六个偏微分方程是 FDTD 算法的基础。 Yee 首先在空间上建立矩形差分网格,在时刻 tn?时刻, F(x,y,z) 可以写成),,(),,,(),,,(kjiFtnzkyjxiFtzyxF n??????(3) 用中心差分取二阶精度: 对空间离散: ???? 2),,21(),,21(),,,(xOx kjiFkjiFx tzyxF nnxix??????????????? 2),21,(),21,(),,,(yOy kjiFkjiFy tzyxF nnyjy??????????????? 2)21,,()21,,(),,,(zOz kjiFkjiFz tzyxF nnzkz???????????对时间离散: ???? 2 2121),,(),,(),,,(tOt kjiFkjiFt tzyxF nntnt???????????( 4) Yee 把空间任一网格上的 E和H的六个分量,如下图放置: 图1 Yee 氏网格及其电磁场分量分布在 FDTD 中,空间上连续分布的电磁场物理量离散的空间排布如图所示。由图可见,电场和磁场分量在空间交叉放置,各分量的空间相对位置也适合于 Maxwell 方程的差分计算, 能够恰当地描述电磁场的传播特性。同时,电场和磁场在时间上交替抽样, 抽样时间间隔相差半个时间步,使 Maxwell 旋度方程离散以后构成显式差分方程,从而可以在时间上迭代求解,而不需要进行矩阵求逆运算。因此, 由给定相应电磁问题的初始条件, FDTD 就可以逐步推进地求得以后各个时刻空间电磁场的分布。根据