定积分计算用原函数(不定积分).ppt

2021
定积分计算用原函数(不定积分)
低阶Newton-Cotes公式
梯形公式 (n=1)
Simpson公式 (n=
2021
定积分计算用原函数(不定积分)
低阶Newton-Cotes公式
梯形公式 (n=1)
Simpson公式 (n=2)
Cotes公式 (n=4)
数值稳定性: n<8时，Cotes系数非负且和为1
3 代数精度
定义： 若机械求积公式 对所有幂函数f(x)=1,x,x2…xm准确，则称它具有m次代数精度。
性质：具有m次代数精度对所有次数不超过m次的多项式准确。
代数精度：梯形公式 (n=1)1次， Simpson公式 (n=2)3次，Cotes公式 (n=4)5次。
n为奇数时，n阶Newton-Cotes公式的代数精度为n；
n为偶数时，n阶Newton-Cotes公式的代数精度为n+1。
用代数精度构造插值公式
例题 求A1, A2及x2，使求积公式
代数精度尽量高．
解：
得     A1=1/4, A2 =3/4，x2 =2/3
4 Gauss求积公式
考虑将节点也视为待定参数，此时机械求积公式
的待定参数达2n+2个，从而可期望代数精度达到2n+1，称此类高精度的求积公式为Gauss公式，而对应节点称为Gauss点。
一点Gauss (n=0) (中矩形公式)
[-1,1]上的两点Gauss公式
[-1,1]上的Gauss点
n次Legendre多项式
[-1,1]上n-1阶Gauss点恰为n次Legendre多项式的根。
阶
Gauss点
求积系数
代数精度
0
0
2
1
1
1，1
3
2
5/9，8/9，5/9
5
Matlab命令quadl使用Lobatto积分
Lobatto积分公式为Gauss公式的修正，总将上下端点作为节点，n阶Lobatto积分公式的代数精度达到2n-1, 比Gauss公式略低.
Lobatto积分求积系数恒正（P131）。
一般区间[a,b]上的Gauss积分
变换到[-1,1]
一般区间[a,b]上的两点Gauss公式
§
引理5. 1 （积分中值定理）若f(x), g(x)均在[a,b]上连续且不变号,则存在[a,b] 使
左矩形公式余项(证明: 用Taylor公式)
中矩形公式余项(证明: 用Taylor公式)
低阶情形
梯形公式余项(证明: 用积分中值定理)
Simpson公式余项(证明: 用积分中值定理+Hermite插值)
一般情况
Newton-Cotes系列公式余项 (证明略)
Gauss系列公式余项
证明:类似Simpson余项,利用2n+1次Hermite插值余项.
§ 复化求积法与步长的选取
复化求积原理
定步长梯形法
条件: f’’(x)在[a, b]连续
2阶收敛性
定步长Simpson法
条件: f(4)(x)在[a, b]连续
P119 (Simpson法精度高)
4阶收敛性
变步长梯形法
递推关系
逐级计算而在增加新节点时, 不浪费原先的计算量, 并且可由|T2n(f) Tn(f)| 控制计算精度。
xi-1
xi
xi-1/2
Romberg公式
由|R2n(f) Rn(f)| 控制计算精度
, j i= 1,2,由|Tii (f) Ti- 1 i-1 (f)|  控制计算精度.
自适应步长法(略)
根据被积函数的陡缓自动选择局部步长
考虑某区间[ak,bk], 记hk= bk ak,
从[a, b]开始按=|(S2-S1)|  检查精度，若满足精度则以S2为计算结果，否则分成两个小区间各自重复逐步上述过程，每个小区间精度用/2。这样重复下去，直至每个分段部分达到相应精度（步长为h=(b-a)/2k时精度/2k）
不同段的步长可能是不一样的，积分结果为每一小段积分的总和。
例5 .15
这里共使用了6个区间，调用函数13次，如果用等步长Simpson法达