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女子体操队最佳出场阵容问题
摘要
本文旨在解决一个女子体操队最佳出场阵容问题,目的是通过对运动员以往各项目得分及概率分布进行分析,在满足参赛规则的条件下,排出一个出场阵容,使该队取得最好的成绩。
我们想到这是一个实际优化问题中的分派问题,于是我们用0-1变量表示一个运动员是否参加比赛,从而建立了问题的0-1规划模型。通过已给出的数据,借助数学软件MATLAB进行求解,分别给出了每个选手的各项得分按照最悲观估算和按照均值估算的前提下的最佳出场阵容。
我们灵活地通过改变问题的约束条件与目标函数,建立了要取得冠军()且概率最大的模型。在模型无解的情况下,我们从新分析了问题,给出了一个夺冠出场阵容。在求解模型中,我们分析了预测误差对决策结果的影响,即模型的灵敏度分析。
由随机变量的和的数学期望定理,我们得到以该阵容出战的得分期望。我们并估算了以该阵容出战有90%的把握战胜怎样水平的对手。为了让决策更直观,在本文中给出了各类数据与出场阵容的图表。
关键词:0-1线性规划 MATLAB 得分期望
一问题重述   
有一场由四个项目(高低杠、平衡木、跳马、自由体操)组成的女子体操团体赛,赛程规定:每个队至多允许 10 名运动员参赛,每一个项目可以有 6 名选手参加。每个选手参赛的成绩评分从高到低依次为: 10 ; ; ; …; ; 0 。每个代表队的总分是参赛选手所得总分之和,总分最多的代表队为优胜者。此外,还规定每个运动员只能参加全能比赛(四项全参加)与单项比赛这两类中的一类,参加单项比赛的每个运动员至多只能参加三项单项。每个队应有 4 人参加全能比赛,其余运动员参加单项比赛。
问题1:每个选手的各单项得分按最悲观估算,在此前提下,请为该队排出一个出场阵容,使该队团体总分尽可能高;个选手的各单项得分按均值估算,在此前提下,为该队排出一个出场阵容,使该队团体总分尽可能高。
问题2:对以往的资料及近期各种信息进行分析得到:本次夺冠的团体总分估计为不少于 分,该队夺冠应排出怎样的阵容?以该阵容出战,其夺冠前景如何?得分前景(即期望值)又如何?它有 90 %的把握战胜怎样水平的对手?
这是一个通过搭配选择运动员来达到比赛时获得最佳的战绩的问题。题目给出了运动员各项目得分及概率分布表(见附录)。
二模型假设
1、单项比赛中,每个队员至多参加3个项目;
2、每一个项目有 6 名选手参加,参加全能比赛的有4名选手占用4个名额。
三符号说明
1.   其取值只能是1或0,并令 =1表示第i名运动员参加了全能比赛,反之 =0;
2.  其取值只能是1或0,并令=1表示第j名运动员参加了编号为k的单项比赛,反之=0;
3. 表示第i名运动员参加了全能比赛的成绩;
4 . 表示第j名运动员参加了编号为k的单项比赛成绩;
5. 表示第i名参加了全能比赛的最好成绩;
6. 表示第j名运动员参加第k项单项比赛的最好成绩;
四问题分析
问题中,赛程规定每个代表队的总分是参赛选手所得总分之和,每个队至多允许10个队员参赛,为了使团队总分尽可能高,则10名运动员应全部参加比赛。而每个项目可以有六个队员参加,也就是说每个单项最多只能有六个队员参加(包括全能队员与参加单个项目的队员)。每个团队应该有四个人参加全能项目,其余的参加单项比赛:每个运动员只能参加单项比赛与全能比赛中的一类;参加单项比赛的运动员最多只能参加3个单项。这两条就是说参加全能与单项的运动员不允许出现冲突。
这是一个优化问题,我们要在满足上述条件的情况下:
(即项目得分最低值)估算,为了达到总分最高的要求,我们该建立一个怎样的数学模型,为该队排出一个最佳阵容;
,为了达到总分最高的要求,我们该建立一个怎样的数学模型,为该队排出一个最佳阵容;
,为了使该队夺冠,我们该排出怎么样的阵容,并计算以该阵容出战的夺冠前景和得分期望,最后分析它有90%的把握战胜怎么样水平的对手。
五模型的建立和求解
通过对问题的分析,这是一个实际优化问题中的分派问题,我们建立0-1线性规划模型。
(1)要有4名运动员参加全能比赛,应有
=4
(2)每一个比赛项目要有6名选手参加,参加全能比赛的有4名选手占用4个名额,则有
=2 k=1,2,3,4
(3)参加单项比赛项目的运动员最多只能参加3项单项项目,则
j=1,2,…,10
(4)每个运动员只能参加全能比赛或者单项比赛中的一类,则
i=j=1,2,…,10 k=1,2,3,4
当第j名运动员参加第k项单项比赛时,其成